《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

1. (济南中考)如图, 在$\triangle ABC$中,$AB = AC$, 分别以点$A$,$B$为圆心, 以适当的长为半径作弧, 两弧分别交于点$E$,$F$, 作直线$EF$,$D$为$BC$的中点,$M$为直线$EF$上任意一点. 若$BC = 4$,$\triangle ABC$的面积为$10$, 则$BM + MD$长度的最小值为 ( )


A. $\frac{5}{2}$
B. $3$
C. $4$
D. $5$

答案：
D　解析:由作法可得EF垂直平分AB,
∴MB=MA,
∴BM+MD=MA+MD,连接MA,DA,如图,由三边关系得MA + MD≥AD,
∴BM+MD长度的最小值为AD的长度.
∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD⊥BC.
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AD=10,解得AD=5,
∴BM+MD长度的最小值为5.

2. (2024·厦门期中)如图, 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC$, 点$C$在直线$MN$上,$\angle BCN = 30^{\circ}$, 点$P$为$MN$上一动点, 连接$AP$,$BP$. 当$AP + BP$的值最小时,$\angle CBP$的度数为______度.

答案：
15　解析:如图,作点B关于MN的对称点D,连接AD，BD,CD,当点P为AD与MN的交点时,AP+BP的值最小.由轴对称可知,CB=CD,PB=PD,
∴∠CBD=∠CDB,∠PBD=∠PDB,
∴∠CBP=∠CDP.
∵∠BCN=30°,
∴∠BCD=2∠BCN=60°,
∴△BCD是等边三角形.
∵AC=BC,
∴AC=CD,
∴∠CAD=∠CDA.
∵∠ACB=90°,∠BCD=60°,∠CAD=∠CDA=$\frac{1}{2}$(180°−∠ACB−∠BCD)=15°,
∴∠CBP=∠CDP=15°.

3. (2024·邯郸期中)如图, 在$\triangle ABC$中,$AC = AB = 8$,$\angle A = 60^{\circ}$.
(1)求$BC$的长;
(2)点$E$在边$BC$上,$BE = 5$, 射线$CD \perp BC$, 垂足为点$C$, 点$P$是射线$CD$上的一动点, 点$F$在线段$AB$上, 当$EP + PF$的值最小时, 求$BF$的长.

答案：

(1)
∵在△ABC中,AC=AB=8,∠A=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴BC=AB=8.
(2)如图所示,作点E关于CD的对称点E',连接PE',由轴对称的性质可得PE'=PE,CE'=CE,
∴EP+PF=PE'+PF,
∴当P,E',F三点共线且E'F⊥AB时,PE'+PF最小,即此时EP+PF最小.
∵CD⊥BC,
∴B,C,E'三点共线.
∵在等边三角形ABC中,AB=8,
∴∠B=60°,BC=AB=8,
∴∠E'=30°,CE=BC−BE=3,
∴CE'=CE=3,
∴BE'=CE'+BC=11,
∴BF=$\frac{1}{2}$BE'=$\frac{11}{2}$.

4. (2025·天津期末)如图①,$\triangle OAB$在平面直角坐标系中,$OB = AB$, 点$O(0,0)$, 点$B(3,4)$, 点$A$在$x$轴上. 若$x$轴正半轴上有一点$C(m,0)$, 连接$BC$, 以$BC$为一边在$BC$的右侧作$\triangle BCD$, 使$BD = BC$, 且$\angle CBD = \angle OBA$, 连接$AD$.
(1)点$A$的坐标为______.
(2)当$m ＞ 6$时.
①证明:$\angle DAC = \angle OBA$;
②如图②, 当点$D$在线段$OB$的延长线上时, 请直接用含有$m$的代数式表示$CD$的长,$CD =$______.
(3)当$0 ＜ m ＜ 6$时, 直接写出四边形$BCAD$周长的最小值, 及此时$m$的值.

答案：

(1)(6,0)　解析:如图①,过点B作BE⊥OA于E,
∵OB=AB,B(3,4),
∴OE=AE=3,
∴点A的坐标为(6,0).


(2)①如图②,设AD与BC的交点为M.
∵点C(m,0),
∴OC=m.
∵∠CBD=∠OBA,
∴∠OBC=∠ABD.
∵OB=AB,BC=BD,
∴△OBC≌△ABD(SAS),
∴∠OCB=∠ADB.
∵∠AMC=∠BMD,
∴∠DAC=∠CBD=∠OBA.
②m　解析:同①得△OBC≌△ABD(SAS),
∴AD=OC=m,∠OCB=∠ADB.
∵OB=AB,BC=BD,
∴∠AOB=∠OAB,∠BCD=∠BDC.
∵∠CBD=∠OBA,
∴∠BCD=∠AOB.
∵∠DAC=∠AOB+∠ADO,∠ACD=∠ACB+∠BCD,
∴∠DAC=∠ACD,
∴CD=AD=m.
(3)当0＜m＜6时,四边形BCAD周长的最小值为14,此时m的值是3.　解析:如图③,同理得△OBC≌△ABD,
∴AD=OC,
∴AC+AD=AC+OC=OA=6.
∵四边形BCAD的周长=BC+BD+AC+AD=2BC+6,
∴当BC1⊥OA时,四边形BCAD的周长最小,此时BC1=4,
∴四边形BCAD的周长的最小值=2×4+6=14,此时m的值是3.