《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

1.（2025·六安模拟）下列因式分解正确的是（C）
A. $ x^{2}+9=(x+3)^{2} $
B. $ a^{2}+2 a+4=(a+2)^{2} $
C. $ a^{3}-4 a^{2}=a^{2}(a-4) $
D. $ 1-4 x^{2}=(1+4 x)(1-x) $

答案： C

2.（2025·西安月考）已知$ a-b=3, a-c=-4 $，则代数式$ a^{2}-a c-a b+b c $的值为（C）
A. -4
B. -3
C. -12
D. 4

答案： C

3.（2025·洛阳期末）已知$ a, b, c $是$ \triangle A B C $的三条边，且满足$ a^{2}+b c=b^{2}+a c $，则$ \triangle A B C $一定是（A）
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形

答案： A

4.（2025·呼和浩特期末）三个超市出售同一种商品，其标价相同，年底各超市分别对该商品进行降价销售：
甲超市第一次降价$ a \% $，第二次降价$ b \% $；
乙超市第一、二次降价均为$ \frac{a+b}{2} \% $；
丙超市一次性降价$ (a+b) \% $.
其中$ a, b $为不相等的正数，则降价后该商品卖得最贵的超市为（B）
A. 甲超市
B. 乙超市
C. 丙超市
D. 都一样

答案： B 解析:设商品原价为 1,甲超市的价格为 $(1 - a\%)(1 - b\%)$,乙超市的价格为 $\left(1 - \frac{a + b}{2}\%\right)^2$,丙超市的价格为 $1 - (a + b)\%$,设 $a\% = x$, $b\% = y$, $\therefore (1 - a\%)(1 - b\%) = (1 - x)(1 - y) = 1 + xy - x - y$, $\left(1 - \frac{a + b}{2}\%\right)^2 = \left(1 - \frac{x + y}{2}\right)^2 = 1 - x - y + \frac{x^2 + 2xy + y^2}{4}$, $1 - (a + b)\% = 1 - x - y$. $\because a \neq b$, 则 $x \neq y$, $\therefore 1 + xy - x - y ＞ 1 - x - y$. $\because 1 - x - y + \frac{x^2 + 2xy + y^2}{4} - 1 - xy + x + y = \frac{x^2 + 2xy + y^2}{4} - xy = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{4} = \frac{(x - y)^2}{4} ＞ 0$, $\therefore$ 降价后该商品卖得最贵的超市为乙超市.故选 B.

5.（2025·陇南期末）$ 6 x^{3} y^{2} z $和$ 4 x^{2} z $的公因式是$2x^2z$.

答案： $2x^2z$

6.（2025·无锡月考）因式分解：$ x^{2}-2 x+1= $______$(x - 1)^2$.

答案： $(x - 1)^2$

7. 已知$ a, b $为互不相等的非零实数，满足$ a^{2}(b+c)=b^{2}(c+a)=8 $，则$ c^{2}(a+b)+2 a b c= $-8.

答案： -8 解析: $\because a^2(b + c) = b^2(c + a) = 8$, $\therefore a^2b + a^2c - b^2c - b^2a = 0$, 即 $c(a + b)(a - b) + ab(a - b) = 0$, 则 $(a - b)(ac + bc + ab) = 0$. $\because a \neq b$, $\therefore ac + bc + ab = 0$, 可得 $ab + ac = -bc$, $ac + bc = -ab$. $\because a^2(b + c) = 8$, $\therefore a(ab + ac) = 8$, $\therefore a(-bc) = 8$, 即 $abc = -8$. $\therefore c^2(a + b) + 2abc = c(ac + bc) + 2abc = -abc + 2abc = abc = -8$.

8.（2025·武汉期末）关于$ x $的二次三项式$ x^{2}+m x+n(m, n $是常实数)，现有以下结论：
（1）若$ m+n=-1 $，则二次三项式$ x^{2}+m x+n $一定含有因式$ (x-1) $；
（2）若$ n=9 $，且$ x^{2}+m x+n=(x+p)^{2} $，则$ m=6 $；
（3）若$ x^{2}+m x+n=(x-2)(x+q) $，则$ 2 m+n=-4 $；
（4）若$ m^{2}-4 n＜0 $，则无论$ x $取何实数，$ x^{2}+m x+n $总是正数.
其中正确结论的序号有______(1)(3)(4).

答案：
(1)
(3)
(4) 解析:
(1) $\because m + n = -1$, $\therefore n = -1 - m$, $\therefore x^2 + mx + n = x^2 + mx - m - 1 = x^2 - 1 + mx - m = (x + 1)(x - 1) + m(x - 1) = (x - 1)(x + 1 + m)$, $\therefore$ 二次三项式 $x^2 + mx + n$ 一定含有因式 $(x - 1)$, 故结论
(1)正确;
(2)若 $n = 9$, 且 $x^2 + mx + n = (x + p)^2$, $\therefore x^2 + mx + n = x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ 或 $x^2 + mx + n = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$, 则 $m = 6$ 或 $m = -6$, 故结论
(2)不正确;
(3) $\because x^2 + mx + n = (x - 2)(x + q) = x^2 + (q - 2)x - 2q$, $\therefore m = q - 2$, $n = -2q$, $\therefore 2m + n = 2(q - 2) - 2q = -4$, 故结论
(3)正确;
(4) $x^2 + mx + n = x^2 + mx + \frac{m^2}{4} + n - \frac{m^2}{4} = \left(x + \frac{1}{2}m\right)^2 + n - \frac{m^2}{4}$, $\because \left(x + \frac{1}{2}m\right)^2 \geq 0$, $\therefore$ 当 $n - \frac{m^2}{4} ＞ 0$, 即 $m^2 - 4n ＜ 0$ 时, 无论 $x$ 取何实数, $x^2 + mx + n$ 总是正数, 故结论
(4)正确.

9.（10分）因式分解：
（1）$ \left(x^{2}+4\right)^{2}-(2 x+3)^{2} $；
（2）$ (a+2 b)^{2}+2(a+2 b-1)+3 $.

答案：
(1) 原式 $= (x^2 + 4 + 2x + 3)(x^2 + 4 - 2x - 3) = (x^2 + 2x + 7)(x - 1)^2$.
(2) 原式 $= (a + 2b)^2 + 2(a + 2b) + 1 = (a + 2b + 1)^2$.

10.（10分）（2025·河北模拟）如图，大正方形$ A $的边长为$ a $，小正方形$ B $的边长为$ b $，两个正方形重叠部分（阴影部分）的面积为$ m $.
（1）用含$ b, m $的代数式表示小正方形$ B $中空白部分的面积：______$b^2 - m$；
（2）若$ a+b=8, a-b=4 $，设大正方形$ A $中空白部分的面积为$ S_{1} $，小正方形$ B $中空白部分的面积为$ S_{2} $，求$ S_{1}-S_{2} $的值.32

答案：
(1) $b^2 - m$
(2) 小正方形 $B$ 中空白部分的面积为 $S_2 = b^2 - m$, 大正方形 $A$ 中空白部分的面积为 $S_1 = a^2 - m$, $\therefore S_1 - S_2 = a^2 - m - (b^2 - m) = a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$. $\because a + b = 8$, $a - b = 4$, $\therefore S_1 - S_2 = 8 \times 4 = 32$.