《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

1. 把多项式$-8a^{2}b^{3}c + 16a^{2}b^{2}c^{2} - 24a^{3}bc^{3}$分解因式，应提的公因式是 (A)
A. $-8a^{2}bc$
B. $2a^{2}b^{2}c^{3}$
C. $-4abc$
D. $24a^{3}b^{3}c^{3}$

答案： A

2. (荆门中考)对于任意实数$a$，$b$，$a^{3}+b^{3}=(a + b)\cdot(a^{2}-ab + b^{2})$恒成立，则下列关系式正确的是 (A)
A. $a^{3}-b^{3}=(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})$
B. $a^{3}-b^{3}=(a + b)(a^{2}+ab + b^{2})$
C. $a^{3}-b^{3}=(a - b)(a^{2}-ab + b^{2})$
D. $a^{3}-b^{3}=(a + b)(a^{2}+ab - b^{2})$

答案： A 解析:将$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$中的 b 替换成 -b,可得$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$。

3. (2025·南通期末)若实数$x$，$y$，$m$满足$x^{2}-2xy - 4y = 1 + m$，$2y^{2}+4xy + 6 = 1 - m$，则$m$的值为 (A)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： A 解析:$\because x^{2}-2xy-4y=1+m,2y^{2}+4xy+6=1-m,\therefore x^{2}-2xy-4y+(2y^{2}+4xy+6)=1+m+1-m=2$,整理得$x^{2}+2xy+2y^{2}-4y+4=0,$
$\therefore (x^{2}+2xy+y^{2})+(y^{2}-4y+4)=0,\therefore (x+y)^{2}+(y-2)^{2}=0,\therefore x+y=0,y-2=0$,解得$x=-2,y=2,\therefore 1+m=x^{2}-2xy-4y=(-2)^{2}-2×(-2)×2-4×2=4,\therefore m=3$.故选 A.

4. 分解因式：(1)$3x^{2}-6x^{2}y + 3xy^{2}=$$3x(x-2xy+y^{2})$；(2)$-2x^{2}y + 16xy - 32y=$$-2y(x-4)^{2}$。

答案：
(1)$3x(x-2xy+y^{2})$
(2)$-2y(x-4)^{2}$

5. (1)若$ab = 3$，$a - 2b = 5$，则$a^{2}b - 2ab^{2}$的值是15；
(2)(2025·南通期末)已知多项式$x^{2}-2024x - 2025$，当$x = a$时，该多项式的值为$b$，当$x = b$时，该多项式的值为$a$，若$a\neq b$，则$a + b$的值为2023。

答案：
(1)15 解析:$a^{2}b-2ab^{2}=ab(a-2b)=3×5=15$.
(2)2 023 解析:
∵当$x=a$时,多项式$x^{2}-2024x-2025$的值为 b,当$x=b$时,该多项式的值为$a,\therefore a^{2}-2024a-2025=b$ ①,$b^{2}-2024b-2025=a$ ②,
由①-②得$a^{2}-b^{2}-2024a+2024b=b-a$,即$a^{2}-b^{2}-2023(a-b)=0,\therefore (a+b)(a-b)-2023(a-b)=0,\therefore (a-b)(a+b-2023)=0.\because a≠b$,即$a-b≠0,\therefore a+b-2023=0,\therefore a+b=2023$.

6. 如图，现有边长为$a$的正方形纸片1张，边长为$b$的正方形纸片2张，长、宽分别为$a$，$b$的长方形纸片3张，把它们拼成一个长方形。利用此拼图中的面积关系，可把多项式$a^{2}+3ab + 2b^{2}$因式分解为$(a+b)(a+2b)$。

答案： $(a+b)(a+2b)$

7. 已知$2^{96}-1$可以被60至70之间的两个整数整除，则这两个整数是65,63。

答案： 65,63 解析:$2^{96}-1=(2^{48})^{2}-1=(2^{48}+1)(2^{48}-1)=(2^{48}+1)[(2^{24})^{2}-1]=(2^{48}+1)(2^{24}+1)(2^{12}+1)(2^{6}+1)(2^{6}-1)$,其中$2^{6}+1=65,2^{6}-1=63$,所以这两个整数是 65,63.

8. 已知$\triangle ABC$的三边$a$，$b$，$c$满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab + bc + ac$，你能判断$\triangle ABC$是什么三角形吗？并说明理由。

答案： $\triangle ABC$是等边三角形.理由如下:$\because a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ac,\therefore 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ac=0,\therefore (a^{2}-2ab+b^{2})+(a^{2}-2ac+c^{2})+(b^{2}-2bc+c^{2})=0$,即$(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}=0,\therefore a-b=0,a-c=0,b-c=0,\therefore a=b=c,\therefore \triangle ABC$是等边三角形.