《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

10. 已知分式$\frac {a(b-c)+b(c-b)}{a-c}$有意义且值为零(a,b,c均为正实数),若以a,b,c的值为三条线段的长构造三角形,则此三角形一定为 (A)
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形

答案： A 解析：
∵ 分式 $ \frac{a(b - c) + b(c - b)}{a - c} $ 有意义，
∴ $ a - c \neq 0 $，
∴ $ a \neq c $。
∵ $ \frac{a(b - c) + b(c - b)}{a - c} $ 的值为零，
∴ $ a(b - c) + b(c - b) = 0 $，
∴ $ a(b - c) + b(c - b) = (b - c)(a - b) = 0 $，解得 $ a = b $ 或 $ b = c $，
∴ 三角形一定为等腰三角形，故选 A。

11. 若不论x取何实数时,分式$\frac {a}{x^{2}-2x+a}$总有意义,则a的取值范围是 (B)
A. $a≥1$
B. $a＞1$
C. $a≤1$
D. $a＜1$

答案： B 解析：由题意得 $ x^2 - 2x + a \neq 0 $，即 $ (x - 1)^2 + a - 1 \neq 0 $ 对 $ x $ 取任何实数均成立，
∴ $ a - 1 ＞ 0 $，即 $ a ＞ 1 $。

12. (1)若$a^{2}-ab=0(b≠0)$,则$\frac {a}{a+b}=$0 或 $\frac{1}{2}$;
(2)若$a^{2}+b^{2}-6ab=0$,其中a,b都不为零,则$(\frac {a+b}{a-b})^{2}$的值是2.

答案：
(1) 0 或 $ \frac{1}{2} $ 解析：
∵ $ a^2 - ab = 0 (b \neq 0) $，
∴ $ a = 0 $ 或 $ a = b $。当 $ a = 0 $ 时，$ \frac{a}{a + b} = 0 $；当 $ a = b $ 时，$ \frac{a}{a + b} = \frac{1}{2} $。
(2) 2 解析：
∵ $ a^2 + b^2 - 6ab = 0 $，
∴ $ a^2 + b^2 + 2ab = 8ab $，$ a^2 + b^2 - 2ab = 4ab $，即 $ (a + b)^2 = 8ab $，$ (a - b)^2 = 4ab $。
∵ $ a $，$ b $ 都不为零，
∴ $ \left( \frac{a + b}{a - b} \right)^2 = \frac{(a + b)^2}{(a - b)^2} = \frac{8ab}{4ab} = 2 $。

13. 从$-3,-1,\frac {1}{2},1,3$这五个数中随机抽取一个数,记为a,若数a使关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l} x≥1,\\ x＜a\end{array}\right. $无解,且使关于a的分式$\frac {2a}{a+3}$有意义,则a的值为-1，$\frac{1}{2}$，1.

答案： -1，$ \frac{1}{2} $，1 解析：若数 $ a $ 使关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases} x \geq 1 \\ x ＜ a \end{cases} $ 无解，则 $ a \leq 1 $。
∵ 关于 $ a $ 的分式有意义，
∴ $ a + 3 \neq 0 $，
∴ $ a \neq -3 $，
∴ $ a $ 的值为 -1，$ \frac{1}{2} $，1。

14. A地至B地的铁路长1100 km,原来列车的行驶速度是200 km/h,为了适应经济的发展,列车的行驶速度每小时比原来增加了a km,求从A地到B地的时间比原来缩短了多少小时.并计算当$a=50$时,从A地到B地的时间缩短了几小时.

答案： 根据题意，得提速后从 A 地到 B 地的时间比原来缩短了 $ \left( \frac{1100}{200} - \frac{1100}{200 + a} \right) $ h。当 $ a = 50 $ 时，$ \frac{1100}{200} - \frac{1100}{200 + a} = 5.5 - 4.4 = 1.1 $ (h)，即提速后从 A 地到 B 地的时间比原来缩短了 1.1 h。

15. (1)当m为何值时,分式$\frac {2m-1}{|m|}$的值为非负数?
(2)当x为何值时,分式$\frac {3-x}{x-2}$的值为负数?

答案：
(1) 由题意，得 $ 2m - 1 \geq 0 $ 且 $ m \neq 0 $，解得 $ m \geq \frac{1}{2} $。
∴ 当 $ m \geq \frac{1}{2} $ 时，分式 $ \frac{2m - 1}{|m|} $ 的值为非负数。
(2) 由题意，得 $ \begin{cases} 3 - x ＞ 0 \\ x - 2 ＜ 0 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} 3 - x ＜ 0 \\ x - 2 ＞ 0 \end{cases} $，解得 $ x ＜ 2 $ 或 $ x ＞ 3 $。
∴ 当 $ x ＜ 2 $ 或 $ x ＞ 3 $ 时，分式 $ \frac{3 - x}{x - 2} $ 的值为负数。

16. (1)若分式$\frac {4}{2m-1}$的值是正整数,则整数m的值为1;
(2)观察下列分式,探究其规律:$\frac {x^{4}}{y},\frac {x^{7}}{y^{2}},\frac {x^{10}}{y^{3}},\frac {x^{13}}{y^{4}}... ... $按照上述规律,第n个分式是$\frac{x^{3n + 1}}{y^n}$.

答案：
(1) 1 解析：由题意可知 $ 2m - 1 = 1 $ 或 2 或 4。当 $ 2m - 1 = 1 $ 时，$ m = 1 $，符合题意；当 $ 2m - 1 = 2 $ 时，$ m = \frac{3}{2} $，不符合题意；当 $ 2m - 1 = 4 $ 时，$ m = \frac{5}{2} $，不符合题意。综上所述，$ m = 1 $。
(2) $ \frac{x^{3n + 1}}{y^n} $ 解析：分子的规律：第 $ n $ 个 $ x $ 的指数是 $ 3n + 1 $；分母的规律：第 $ n $ 个 $ y $ 的指数是 $ n $。根据分式的分子和分母的规律可得第 $ n $ 个分式是 $ \frac{x^{3n + 1}}{y^n} $。

17. 阅读下面的解题过程:
已知$\frac {x}{x^{2}+1}=\frac {1}{3}$,求$\frac {x^{2}}{x^{4}+1}$的值.
解:由$\frac {x}{x^{2}+1}=\frac {1}{3}$,知$x≠0$,所以$\frac {x^{2}+1}{x}=3$,即$x+\frac {1}{x}=3$.所以$\frac {x^{4}+1}{x^{2}}=x^{2}+\frac {1}{x^{2}}=(x+\frac {1}{x})^{2}-2=3^{2}-2=7$.故$\frac {x^{2}}{x^{4}+1}$的值为$\frac {1}{7}$.
该题的解法叫作“倒数法”,请你利用“倒数法”解决下面的题目:
已知$\frac {x}{x^{2}-3x+1}=\frac {1}{5}$,求$\frac {x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}$的值.
解：∵ $\frac{x}{x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{5}$，∴ $ x \neq 0 $，∴ $ \frac{x^2 - 3x + 1}{x} = 5 $，即 $ x + \frac{1}{x} - 3 = 5 $，∴ $ x + \frac{1}{x} = 8 $，∴ $ \frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} + 1 = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 1 = 63 $，∴ $ \frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1} = $$\frac{1}{63}$.

答案：
∵ $ \frac{x}{x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{5} $，
∴ $ x \neq 0 $，
∴ $ \frac{x^2 - 3x + 1}{x} = 5 $，即 $ x + \frac{1}{x} - 3 = 5 $，
∴ $ x + \frac{1}{x} = 8 $，
∴ $ \frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} + 1 = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 1 = 63 $，
∴ $ \frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1} = \frac{1}{63} $。