《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

8. (2023·济宁中考)如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F,若$∠CFB=α$,则$∠ABE$等于( )

A. $180^{\circ }-α$
B. $180^{\circ }-2α$
C. $90^{\circ }+α$
D. $90^{\circ }+2α$

答案：
C 解析：如图，由图可知 $ G D = E H = 1 $，$ C G = BH = 4 $，$ \angle C G D = \angle B H E = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \triangle C G D \cong \triangle B H E ( S A S ) $，$ \therefore \angle G C D = \angle H B E $。$ \because C G // B D $，$ \therefore \angle C A B = \angle A B D $。

$ \because \angle C F B = \angle CAB + \angle GCD = \alpha $，$ \therefore \alpha = \angle ABD + \angle HBE $，$ \therefore \angle A B E = \angle A B D + \angle D B H + \angle H B E = 90 ^ { \circ } + \alpha $。故选 C。

9. 如图,在正方形ABCD中,如果$AF=BE$,那么$∠AOD$的度数是$90^{\circ}$.

答案： $ 90 ^ { \circ } $ 解析：由四边形 $ A B C D $ 是正方形，得 $ A D = A B $，$ \angle D A F = \angle B = 90 ^ { \circ } $。在 $ \triangle A B E $ 和 $ \triangle D A F $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { A B = D A, } \\ { \angle A B E = \angle D A F, } \\ { B E = A F, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle A B E \cong \triangle D A F ( S A S ) $，$ \therefore \angle B A E = \angle A D F $。$ \because \angle B A E + \angle E A D = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle O A D + \angle A D O = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle A O D = 90 ^ { \circ } $。

10. 如图,点D,F分别为$△ABC$的边AB,AC的中点,$DE⊥AB,FG⊥AC,△AGE$的周长为15,$BC=10$,则$EG=$$\frac{5}{2}$.

答案： $ \frac { 5 } { 2 } $ 解析：$ \because $ 点 $ D $ 是 $ A B $ 的中点，$ \therefore B D = A D $。$ \because D E \perp A B $，$ \therefore \angle E D A = \angle E D B = 90 ^ { \circ } $。在 $ \triangle E D B $ 和 $ \triangle E D A $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { B D = A D, } \\ { \angle E D B = \angle E D A, } \\ { D E = D E, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle E D B \cong \triangle E D A ( S A S ) $，$ \therefore B E = A E $，同理可证 $ \triangle A G F \cong \triangle C G F ( S A S ) $，$ \therefore A G = C G $。$ \because \triangle A G E $ 的周长为 15，$ \therefore A G + A E + G E = E B + C G + G E = B G + G E + G E + C E + G E = B C + 2 G E = 15 $，$ \therefore G E = \frac { 5 } { 2 } $。

11. 在$△ABC$中,$AB=8$,若BC边上的中线$AD=5$,那么线段AC的取值范围是____$2＜AC＜18$.

答案： $ 2 ＜ A C ＜ 18 $ 解析：延长 $ A D $ 到 $ E $，使 $ A D = D E $，连接 $ B E $，$ \because A D = D E $，$ \angle A D C = \angle B D E $，$ D C = B D $，$ \therefore \triangle A D C \cong \triangle E D B ( S A S ) $，$ \therefore B E = A C $。在 $ \triangle A E B $ 中，$ A E - A B ＜ B E ＜ A B + A E $，即 $ 2 ＜ B E ＜ 18 $，$ \therefore 2 ＜ A C ＜ 18 $。

12. (2025·红河期末)已知在四边形ABCD中,$AB=AD,∠ABC+∠ADC=180^{\circ }$,E,F分别是BC,CD边上的点,且$∠EAF=\frac {1}{2}∠BAD$.探究线段BE,EF,DF之间的数量关系.
(1)为探究上述问题,小宁先画出了其中一种特殊情况,如图①,$∠ABC=∠ADC=90^{\circ }$,小宁探究此问题的方法是延长EB到点G,使$BG=DF$,连接AG,请你补全小宁的解题思路:先证明$△ABG\cong $____;再证明$△AEG\cong $____;即可得出线段BE,EF,FD之间的数量关系是____.
(2)如图②,在四边形ABCD中,$AB=AD,∠ABC+∠ADC=180^{\circ }$,E,F分别是边BC,CD上的点,且$∠EAF=\frac {1}{2}∠BAD$,(1)中的结论是否仍然成立?请写出证明过程.
(3)在四边形ABCD中,$AB=AD,∠ABC+∠ADC=180^{\circ }$,E,F分别是BC,CD所在直线上的点,且$∠EAF=\frac {1}{2}∠BAD$.请直接写出线段BE,EF,FD之间的数量关系,不用证明.

答案：

(1) $ \triangle A D F $ $ \triangle AEF $ $ EF = BE + FD $
(2)
(1) 中的结论 $ E F = B E + F D $ 仍然成立。证明如下：
如图①，延长 $ E B $ 到点 $ G $，使 $ B G = D F $，连接 $ A G $，$ \because \angle A B C + \angle A D C = 180 ^ { \circ } $，$ \angle ABG + \angle ABC = 180 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle A D C = \angle A B G $。
在 $ \triangle A B G $ 与 $ \triangle A D F $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { A B = A D, } \\ { \angle A B G = \angle A D F, } \\ { B G = D F, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle A B G \cong \triangle A D F ( S A S ) $，$ \therefore A G = A F $，$ \angle B A G = \angle D A F $，$ \therefore \angle B A G + \angle B A F = \angle D A F + \angle B A F $，$ \therefore \angle G A F = \angle B A D $。
$ \because \angle E A F = \frac { 1 } { 2 } \angle B A D $，$ \therefore \angle E A F = \frac { 1 } { 2 } \angle G A F $，$ \therefore \angle G A E = \angle E A F $。
在 $ \triangle A E G $ 与 $ \triangle A E F $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { A G = A F, } \\ { \angle G A E = \angle F A E, } \\ { A E = A E, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle A E G \cong \triangle A E F ( S A S ) $，$ \therefore E F = E G $。$ \because E G = B E + B G $，$ \therefore E F = B E + F D $。

(3) $ E F = B E - F D $ 或 $ E F = F D - B E $ 或 $ E F = B E + F D $。
解析：① $ E F = B E - F D $，如图②，在 $ B E $ 上截取 $ B G $，使 $ B G = D F $，连接 $ A G $，$ \because \angle A B C + \angle A D C = 180 ^ { \circ } $，$ \angle A D F + \angle A D C = 180 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle A B C = \angle A D F $。在 $ \triangle A B G $ 与 $ \triangle A D F $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { A B = A D, } \\ { \angle A B G = \angle A D F, } \\ { B G = D F, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle A B G \cong \triangle A D F ( S A S ) $，$ \therefore A G = A F $，$ \angle B A G = \angle D A F $，$ \therefore \angle B A G + \angle G A D = \angle D A F + \angle G A D $，$ \therefore \angle G A F = \angle B A D $。$ \because \angle E A F = \frac { 1 } { 2 } \angle B A D $，$ \therefore \angle E A F = \frac { 1 } { 2 } \angle G A F $，$ \therefore \angle G A E = \angle E A F $。在 $ \triangle A E G $ 与 $ \triangle A E F $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { A G = A F, } \\ { \angle G A E = \angle F A E, } \\ { A E = A E, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle A E G \cong \triangle A E F ( S A S ) $，$ \therefore E F = E G $。$ \because E G = B E - B G $，$ \therefore E F = B E - F D $。
② $ E F = F D - B E $，如图③，在 $ D F $ 上截取 $ D H = B E $，同第一种情况，先证得 $ \triangle A B E \cong \triangle A D H ( S A S ) $，再证得 $ \triangle A E F \cong \triangle A H F ( S A S ) $，$ \therefore E F = F H = F D - D H = F D - B E $。
③ 由
(1)
(2) 可知，$ E F = B E + F D $。
④ 如图④，点 $ E $ 在 $ B C $ 延长线上，点 $ F $ 在 $ D C $ 延长线上，此时线段 $ B E $，$ E F $，$ F D $ 之间并无直接数量关系。
综上，线段 $ B E $，$ E F $，$ F D $ 之间的数量关系为 $ E F = B E - F D $ 或 $ E F = F D - B E $ 或 $ E F = B E + F D $。