《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

3. (2025·盘锦期末)综合与实践
问题情境:数学课上,老师让每个组准备了一张如图①所示的等腰三角形纸片 $ \triangle ABC $,其中 $ AB = AC $,AD 是边 BC 上的中线.老师要求各个小组结合所学的图形变化的知识展开数学探究.

(1)如图①,“勤学”小组发现图中的 $ AD \perp BC $,请你用全等三角形的知识证明这一结论.
(2)如图②,“善思”小组将图①中的 $ \triangle ABC $ 纸片过点 E 沿平行于 BC 的直线减掉一部分,连接 BE,并在 BE 上取一点 M,连接 MD,MF,使得 $ MD = MF $.求证:$ MB = ME $.
(3)如图③,“智慧”小组将 $ \triangle ABC $ 纸片沿 AD 剪开,然后保持 $ \triangle ABD $ 不动,调整 $ \triangle ACD $ 的位置至 $ \triangle EAF $,延长 AE,BD 交于点 H,连接 BE,取 BE 的中点 G,连接 GD,GF.求证:$ GD \perp GF $.

答案：

(1)$\because AD$是边$BC$上的中线，$\therefore BD = CD$，
在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中，$\begin{cases} AB = AC, \\ AD = AD, \\ BD = CD, \end{cases}$ $\therefore \triangle ABD \cong \triangle ACD(SSS)$，
$\therefore \angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ}$，$\therefore AD \perp BC$。
(2)延长$FM$交$BD$于点$G$，如图①，
$\because MD = MF$，$\therefore \angle MFD = \angle MDF$，由
(1)知$\angle ADB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle MDG + \angle MDF = 90^{\circ}$，$\angle MGD + \angle MFD = 90^{\circ}$，$\therefore \angle MDG = \angle MGD$，$\therefore MG = MD = FM$。由题意得$EF // BD$，$\therefore \angle MBG = \angle FEM$，$\angle MGB = \angle MFE$，$\therefore \triangle BGM \cong \triangle EFM(AAS)$，$\therefore BM = EM$。
　　　　
(3)延长$DG$交$EF$于点$K$，如图②，
由题意得$EF // BD$，$\therefore \angle DBG = \angle KEG$，$\angle BDG = \angle EKG$。
又$\because BG = EG$，$\therefore \triangle BGD \cong \triangle EKG(AAS)$，
$\therefore KE = BD$，$KG = DG$。由题意可知$\triangle EAF \cong \triangle ACD$，由
(1)可知$\triangle ABD \cong \triangle ACD$，$\therefore \triangle EAF \cong \triangle ABD$，$\therefore AF = BD$，$AD = EF$。$\because DF = AD - AF$，$KF = EF - KE$，$\therefore FD = FK$。
又$\because FG = FG$，$\therefore \triangle DFG \cong \triangle KFG(SSS)$，$\therefore \angle FGD = \angle FGK = 90^{\circ}$，$\therefore GD \perp GF$。

4. (2025·茂名期末)综合探究:
问题情境:在数学活动课上,老师提出了一个问题:如图①,在 $ \triangle ABC $ 中,BD 平分 $ \angle ABC $,$ AD \perp BD $ 于点 D,过点 D 作 $ EF // BC $ 分别交 AB,AC 于点 E,F.

(1)问题解决:如图①,若 $ \angle BAC : \angle ABC : \angle ACB = 3 : 2 : 1 $,求 $ \angle DAC $ 的度数.
(2)如图①,若 $ \angle BED = 128^{\circ}, \angle DAF = \frac{1}{2} \angle BAD $,试猜想 $ \angle DAF $ 与 $ \angle C $ 之间的数量关系,并说明理由.
(3)问题拓展:如图②,若过点 D 作 $ DG // AB $ 交 BC 于点 G,连接 EG,交 BD 于点 O,试探究 BD 与 EG 的位置关系,并说明理由.
(1)30°
(2)$\angle DAF$与$\angle C$之间的数量关系为$\angle DAF = \angle C$
(3)BD 与 EG 的位置关系为$BD \perp EG$

答案：
(1)设$\angle ACB = x$，则$\angle ABC = 2x$，$\angle BAC = 3x$，$\because \angle ACB + \angle ABC + \angle BAC = 180^{\circ}$，$\therefore x + 2x + 3x = 180^{\circ}$，$\therefore x = 30^{\circ}$，$\therefore \angle ABC = 2x = 60^{\circ}$，$\angle BAC = 3x = 90^{\circ}$，$\because BD$平分$\angle ABC$，$\therefore \angle ABD = 30^{\circ}$，$\because AD \perp BD$，$\therefore \angle BAD = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$，$\therefore \angle DAC = \angle BAC - \angle BAD = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$。
(2)$\angle DAF = \angle C$。
理由：$\because EF // BC$，$\angle BED = 128^{\circ}$，$\therefore \angle ABC = 180^{\circ} - \angle BED = 180^{\circ} - 128^{\circ} = 52^{\circ}$，$\because BD$平分$\angle ABC$，$\therefore \angle ABD = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \times 52^{\circ} = 26^{\circ}$。
$\because AD \perp BD$，$\therefore \angle BAD = 90^{\circ} - 26^{\circ} = 64^{\circ}$，$\because \angle DAF = \frac{1}{2} \angle BAD = \frac{1}{2} \times 64^{\circ} = 32^{\circ}$，$\therefore \angle BAC = \angle BAD + \angle DAF = 64^{\circ} + 32^{\circ} = 96^{\circ}$，$\therefore \angle C = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ABC = 180^{\circ} - 96^{\circ} - 52^{\circ} = 32^{\circ}$，$\therefore \angle DAF = \angle C$。
(3)$BD \perp EG$。理由：$\because EF // BC$，$\therefore \angle EDB = \angle DBC$，$\because BD$平分$\angle ABC$，$\therefore \angle EBD = \angle DBG$，$\therefore \angle EBD = \angle EDB$，$\therefore BE = ED$。
$\because DG // AB$，$\therefore \angle EBD = \angle BDG$，$\therefore \angle EDB = \angle BDG$。
在$\triangle BEG$和$\triangle DGE$中，$\begin{cases} \angle BEG = \angle DGE, \\ EG = EG, \\ \angle BGE = \angle DEG, \end{cases}$ $\therefore \triangle BEG \cong \triangle DGE(ASA)$，
$\therefore DG = BE$，$\therefore DG = ED$，$\therefore BD \perp EG$（三线合一）。