《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$BD⊥AC$于点D,$CE⊥AB$于点E,BD和CE交于点O,AO的延长线交BC于点F,则图中全等的直角三角形有 (B)

A. 5对
B. 6对
C. 7对
D. 8对

答案： B　解析:
∵BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠ADB=∠AEC=90°.
∵AC=AB,∠CAE=∠BAD,
∴△AEC≌△ADB(AAS),
∴CE=BD.又
∵∠CEB=∠BDC=90°,BC=CB,
∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL),
∴BE=CD,∠CBE=∠BCD,
∴AD=AE;
∵AO=AO,
∴Rt△AOD≌Rt△AOE (HL),
∴∠DAO=∠EAO,OD=OE;
∵∠DOC=∠EOB,∠ODC=∠OEB,
∴△COD≌△BOE(ASA),
∴OB=OC.
∵AC=AB,∠CAF=∠BAF,AF=AF,
∴△ACF≌△ABF(SAS),
∴CF=BF,∠AFC=∠AFB.又
∵OF=OF,
∴△COF≌△BOF(SAS).共6对,故选B.

10. 如图,$BD=CF$,$FD⊥BC$于点D,$DE⊥AB$于点E,$BE=CD$,若$∠AFD=140^{\circ }$,则$∠EDF=$50°.

答案： 50°　　解析:
∵∠AFD=140°,
∴∠CFD=40°.
∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠DEB=∠FDC=90°.又
∵BD=CF,BE=CD,
∴Rt△BDE≌Rt△CFD(HL),
∴∠BDE=∠CFD=40°,
∴∠EDF=180°−∠FDC−∠BDE=50°.

11. 如图,有一个$Rt\triangle ABC$,$∠C=90^{\circ }$,$AC=6$,$BC=3$,一条线段$PQ=AB$,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动,当AP长为3或6时,才能使以点P,A,Q为顶点的三角形与$\triangle ABC$全等.

答案： 3或6　解析:
∵∠C=90°,AQ⊥AC,
∴∠C=∠QAP=90°.①当AP=3=BC时，$\left\{\begin{array}{l} AB=QP,\\ CB=AP,\end{array}\right.$
∴Rt△ACB≌Rt△QAP(HL).②当AP=6=AC时，$\left\{\begin{array}{l} AB=PQ,\\ CA=AP,\end{array}\right.$
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ(HL).故答案为3或6.

12. (2024·苏州月考)如图,AD是$\triangle ABC$的中线,$BE⊥AD$,垂足为E,$CF⊥AD$,交AD的延长线于点F,G是DA的延长线上一点,连接BG.
(1)求证:$BE=CF$;
(2)若$BG=CA$,求证:$GA=2DE$.

答案：
(1)
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD.
∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴∠BED=∠F.在△BED和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l} \angle BED=\angle CFD,\\ \angle BDE=\angle CDF,\\ BD=CD,\end{array}\right.$
∴△BED≌△CFD(AAS),
∴BE=CF.
(2)在Rt△BGE和Rt△CAF中，$\left\{\begin{array}{l} BG=CA,\\ BE=CF,\end{array}\right.$
∴Rt△BGE≌Rt△CAF (HL),
∴GE=AF,
∴AG=EF.
∵△BED≌△CFD,
∴DE=DF,
∴GA=2DE.

13. (2024·沈阳期中)在等腰直角三角形ABC中,$AB=AC$,$∠BAC=90^{\circ }$,$∠ABC=∠ACB=45^{\circ }$,点D是线段BC上一点,点D不与点B、点C重合,连接AD,以AD为一边作$\triangle ADE$,$AD=AE$,$∠DAE=90^{\circ }$,且点E与点D在直线AC两侧,DE与AC交于点H,连接CE.

(1)如图①,求证:$\triangle ABD\cong \triangle ACE$.∵∠DAE=90°,∠BAC=90°,∴∠DAE−∠DAH=∠BAC−∠DAH,∴∠CAE=∠BAD.又∵AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE (SAS).
(2)如图②,在CE的延长线上取一点F,当$∠AEF=∠AFE$时,求证:$CD=CF$.∵△ABD≌△ACE,∴∠ADB=∠AEC,∠ABD=∠ACE=45°,∴180°−∠ADB=180°−∠AEC,∠ACB=∠ACE=45°,∴∠ADC=∠AEF;∵∠AEF=∠AFE,∴∠ADC=∠AFE.在△ACD和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l} \angle ACD=\angle ACF,\\ \angle ADC=\angle AFC,\\ AC=AC,\end{array}\right.$ ∴△ACD≌△ACF(AAS),∴CD=CF.
(3)过点A作直线CE的垂线,垂足为G,当$CD=6EG$时,直接写出$\triangle CDH$与$\triangle CEH$的面积比.$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{4}$

答案：
(1)
∵∠DAE=90°,∠BAC=90°,
∴∠DAE−∠DAH=∠BAC−∠DAH,
∴∠CAE=∠BAD.又
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE (SAS).
(2)
∵△ABD≌△ACE,
∴∠ADB=∠AEC,∠ABD=∠ACE=45°,
∴180°−∠ADB=180°−∠AEC,∠ACB=∠ACE=45°,
∴∠ADC=∠AEF;
∵∠AEF=∠AFE,
∴∠ADC=∠AFE.在△ACD和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l} \angle ACD=\angle ACF,\\ \angle ADC=\angle AFC,\\ AC=AC,\end{array}\right.$
∴△ACD≌△ACF(AAS),
∴CD=CF.
(3)$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{4}$　解析:分类讨论:第一种情况:点G在点E的下方,过点A作AO⊥BC于点O,过点H作HM⊥BC于点M,作HN⊥CG于点N,如图①,
∵AO⊥BC,AG⊥CE,
∴∠AOC=∠AGC=90°.又
∵∠ACB=∠ACE=45°,AC=AC,
∴△AOC≌△AGC,
∴AO=AG,CO=CG.同理可证MH=NH;又
∵AD=AE,
∴Rt△AOD≌Rt△AGE(HL),
∴OD=GE.
∵CD=6EG,
∴CO=CD−OD=5EG,
∴CG=CO=5EG,
∴CE=CG−EG=4EG.
∵S△CHD=$\frac{1}{2}$×CD×MH,S△CHE=$\frac{1}{2}$×CE×NH,MH=NH,
∴$\frac{S_{\triangle CHD}}{S_{\triangle CEH}}=\frac{\frac{1}{2}\times CD\times MH}{\frac{1}{2}\times CE\times NH}=\frac{CD}{CE}$.
∵CD=6EG,CE=4EG,
∴$\frac{S_{\triangle CHD}}{S_{\triangle CEH}}=\frac{CD}{CE}=\frac{3}{2}$.
第二种情况:点G在点E的上方,过点A作AO⊥BC于点O,过点H作HM⊥BC于点M,作HN⊥CG于点N,如图②,同理可得OD=GE,OC=CG,MH=NH;
∵CD=6EG,
∴CO=CD+OD=7EG,
∴CG=CO=7EG,
∴CE=CG+EG=8EG,
∴$\frac{S_{\triangle CDH}}{S_{\triangle CEH}}=\frac{CD}{CE}=\frac{3}{4}$.综上,△CDH与△CEH的面积比为$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{4}$.