《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

15. (2024·厦门期中)如图,在△ABC中,∠BAC=75°,BC=9,△ABC的面积为18,D为BC边上一动点(不与点B,C重合),将△ABD和△ACD分别沿直线AB,AC翻折得到△ABE与△ACF,那么△AEF面积的最小值为______.

答案：
15.4　解析:如图，过点E作EG⊥AF，交FA的延长线于点G，由折叠可得，AF = AE = AD，∠BAE = ∠BAD，∠DAC = ∠FAC。又
∵∠BAC = 75°，
∴∠EAF = 150°，
∴∠EAG = 30°，
∴$EG = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2}AD$。
∵$S_{\triangle AEF} = \frac{1}{2}AF \times EG = \frac{1}{2}AD \times \frac{1}{2}AD = \frac{1}{4}AD^2$，
∴当AD最短时，△AEF的面积最小。当AD⊥BC时，AD最短，
∵BC = 9，△ABC的面积为18，
∴当AD⊥BC时，AD = 2 × 18 ÷ 9 = 4，
∴△AEF面积的最小值为$\frac{1}{4}AD^2 = \frac{1}{4} \times 4^2 = 4$。

16. (2024·台州期中)已知AD为等边△ABC的角平分线,△ABC的边长为6,动点E在直线AD上(不与点A重合),连接BE.以BE为一边在BE的下方作等边△BEF,连接CF.
(1)如图①,若点E在线段AD上,
①求证:△ABE≌△CBF;
②当DE=2AE,S△ABC=9$\sqrt{3}$时,则点F到BC的距离是______.
(2)如图②,若点E在AD的反向延长线上,且直线AE,CF交于点M.
①求∠AMC的度数.
②若P,Q为直线CF上的两个动点,且PQ=8,连接BP,BQ,判断△BPQ的面积是否为定值.若是,请直接写出这个定值;若不是,请说明理由.

答案：
16.
(1)①
∵ △ABC和△BEF均为等边三角形，
∴ AB = CB，EB = FB，∠EBF = ∠ABC = 60°，
∴ ∠EBA = ∠FBC。在 △ABE和△CBF中，$\begin{cases}AB = CB, \\ ∠ABE = ∠CBF, \\ EB = FB,\end{cases}$
∴ △ABE ≌ △CBF(SAS)。
② $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 解析：
∵ DE = 2AE，
∴$S_{\triangle BDE} = 2S_{\triangle ABE}$，
∴$S_{\triangle ABE} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABD}$。
∵ AD为等边△ABC的角平分线，
∴ BD = CD，
∴$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，
∴$S_{\triangle ABE} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABD} = \frac{1}{6}S_{\triangle ABC} = \frac{3}{2}\sqrt{3}$。
∵ △ABE ≌ △CBF，
∴$S_{\triangle ABE} = S_{\triangle BCF} = \frac{3}{2}\sqrt{3}$。设点F到BC的距离是d，
∴$S_{\triangle BCF} = \frac{1}{2}BC \times d = \frac{1}{2} \times 6 \times d = \frac{3}{2}\sqrt{3}$，
∴$d = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
(2)①
∵ △ABC和△BEF均为等边三角形，
∴ AB = CB，EB = FB，∠EBF = ∠ABC = 60°，
∴ ∠EBA = ∠FBC。在 △ABEid:23
content:16. (2024·台州期中)已知AD为等边△ABC的角平分线,△ABC的边长为6,动点E在直线AD上(不与点A重合),连接BE.以BE为一边在BE的下方作等边△BEF,连接CF.
(1)如图①,若点E在线段AD上,
①求证:△ABE≌△CBF;
②当DE=2AE,S△ABC=9$\sqrt{3}$时,则点F到BC的距离是______.
(2)如图②,若点E在AD的反向延长线上,且直线AE,CF交于点M.
①求∠AMC的度数.
②若P,Q为直线CF上的两个动点,且PQ=8,连接BP,BQ,判断△BPQ的面积是否为定值.若是,请直接写出这个定值;若不是,请说明理由.

answer:16.
(1)①
∵ △ABC和△BEF均为等边三角形，
∴ AB = CB，EB = FB，∠EBF = ∠ABC = 60°，
∴ ∠EBA = ∠FBC。在 △ABE和△CBF中，$\begin{cases}AB = CB, \\ ∠ABE = ∠CBF, \\ EB = FB,\end{cases}$
∴ △ABE ≌ △CBF(SAS)。
② $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 解析：
∵ DE = 2AE，
∴$S_{\triangle BDE} = 2S_{\triangle ABE}$，
∴$S_{\triangle ABE} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABD}$。
∵ AD为等边△ABC的角平分线，
∴ BD = CD，
∴$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，
∴$S_{\triangle ABE} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABD} = \frac{1}{6}S_{\triangle ABC} = \frac{3}{2}\sqrt{3}$。
∵ △ABE ≌ △CBF，
∴$S_{\triangle ABE} = S_{\triangle BCF} = \frac{3}{2}\sqrt{3}$。设点F到BC的距离是d，
∴$S_{\triangle BCF} = \frac{1}{2}BC \times d = \frac{1}{2} \times 6 \times d = \frac{3}{2}\sqrt{3}$，
∴$d = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
(2)①
∵ △ABC和△BEF均为等边三角形，
∴ AB = CB，EB = FB，∠EBF = ∠ABC = 60°，
∴ ∠EBA = ∠FBC。在 △ABE和△CBF中，$\begin{cases}AB = CB, \\ ∠ABE = ∠CBF, \\ EB = FB,\end{cases}$
∴ △ABE ≌ △CBF(SAS)，
∴ ∠AEB = ∠CFB。又
∵ ∠AEB + ∠EBF = ∠CFB + ∠AMC，
∴ ∠AMC = ∠EBF = 60°。
② △BPQ的面积为定值12. 解析：过B作BN⊥CM于点N，如图

∵ AD为等边△ABC的角平分线，
∴ BD = CD，AD⊥CD，由
(1)①可知，∠AMC = 60°，
∴ ∠DCM = 30°。
∵ BC = 6，
∴ 在Rt△BNC中，$BN = \frac{1}{2}BC = 3$。
∵ PQ = 8，
∴$S_{\triangle BPQ} = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12$，
∴ △BPQ的面积为定值12。