《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

3. (2025·北京期末)
阅读下列材料:
利用完全平方公式,可以把多项式 $ ax^{2}+bx + c $ $ (a\neq0) $变形为 $ a(x + m)^{2}+n $ 的形式,进而解决多项式的最大值或最小值问题.
例如:① $ x^{2}+4x + 3=x^{2}+2\cdot x\cdot2 + 2^{2}-2^{2}+3=(x + 2)^{2}-4 + 3=(x + 2)^{2}-1 $.
$\because(x + 2)^{2}\geqslant0,$
$\therefore x^{2}+4x + 3=(x + 2)^{2}-1\geqslant-1.$
$\therefore 当 x=-2 时,多项式 x^{2}+4x + 3 的最小值为 -1.$
② $ -x^{2}+8x + 1=-(x^{2}-8x)+1=-(x^{2}-2\cdot x\cdot4 + 4^{2}-4^{2})+1=-(x - 4)^{2}+16 + 1=-(x - 4)^{2}+17 $.
$\because-(x - 4)^{2}\leqslant0,$
$\therefore -x^{2}+8x + 1=-(x - 4)^{2}+17\leqslant17.$
$\therefore 当 x = 4 时,多项式 -x^{2}+8x + 1 的最大值为 17.$
根据上述材料解决下列问题:
(1)求多项式 $ x^{2}-2x + 5 $ 的最小值,并求出相应的 $ x $ 的值;
(2)如果多项式 $ x^{2}-2px $ 的最小值是 -9,那么 $ p $ 的值为____±3____;
(3)如图,某学校打算用 20 米长的篱笆围成一个长方形的花坛,如果设花坛的一边 $ AB = x $ 米,那么当 $ x = $____5____时,该花坛的面积最大,最大面积是____25____平方米.

答案：
(1)$x^{2}-2x + 5 = x^{2}-2\cdot x\cdot1 + 1^{2}-1^{2}+5=(x - 1)^{2}-1 + 5=(x - 1)^{2}+4$.
$\because(x - 1)^{2}\geq0$,$\therefore x^{2}-2x + 5=(x - 1)^{2}+4\geq4$.$\therefore$当$x = 1$时,多项式$x^{2}-2x + 5$的最小值为$4$.
(2)$\pm3$ 解析:$x^{2}-2px = x^{2}-2px + p^{2}-p^{2}=(x - p)^{2}-p^{2}$,$\because(x - p)^{2}\geq0$,$\therefore x^{2}-2px=(x - p)^{2}-p^{2}\geq - p^{2}$.$\therefore$当$x = p$时,多项式$x^{2}-2px$的最小值为$-p^{2}$.$\because$多项式$x^{2}-2px$的最小值是$-9$,$\therefore - p^{2}=-9$,$\therefore p^{2}=9$,$\therefore p=\pm3$.
(3)$5$ $25$ 解析:$\because AB = x$米,$\therefore BC=\frac{1}{2}(20 - 2x)=(-x + 10)$米,
$\therefore$长方形$ABCD$的面积$=AB\cdot BC = x(-x + 10)=-x^{2}+10x=-x^{2}+10x-5^{2}+25=[-(x - 5)^{2}+25]$平方米.$\because-(x - 5)^{2}\leq0$,$\therefore-(x - 5)^{2}+25\leq25$,$\therefore$当$x = 5$时,长方形$ABCD$的面积的最大值为$25$,即$x = 5$米时,该花坛的面积最大,最大面积是$25$平方米.

4. (2025·郑州月考)
阅读材料:杨辉三角
如果将 $ (a + b)^{n} $ ( $ n $ 为非负整数) 的展开式的每一项按字母 $ a $ 的次数由大到小排列,就可以得到下面的等式:
$(a + b)^{0}=1,$
它只有一项,系数为 1;
$(a + b)^{1}=a + b,$
它有两项,系数分别为 1,1;
$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2},$
它有三项,系数分别为 1,2,1;
$(a + b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3},$
它有四项,系数分别为 1,3,3,1;
将上述每个式子的各项系数排成该表.

观察该表,可以发现每一行的首末都是 1,并且下一行的数比上一行多 1 个,中间各数都写在上一行两数的中间,且等于它们的和.按照这个规律可以将这个表继续往下写.
(1)判断 $ (a + b)^{5} $ 的展开式共有六项;写出 $ (a + b)^{6} $ 的第三项的系数是15.
(2)结合杨辉三角解决以下问题:
①计算: $ 2^{5}-5×2^{4}+10×2^{3}-10×2^{2}+5×2 - 1 $;
②猜想: $ (2x - 1)^{6} $ 的展开式中含 $ x^{3} $ 项的系数是-160.
(3)运用:若今天是星期二,那么再过 $ 8^{2025} $ 天是星期三.

答案：
(1)六 $15$ 解析:根据题意,可知$(a + b)^{4}$展开式有五项,系数分别是$1,4,6,4,1$;
$(a + b)^{5}$展开式有六项,系数分别是$1,5,10,10,5,1$;
$(a + b)^{6}$展开式有七项,系数分别是$1,6,15,20,15,6,1$.
(2)①$2^{5}-5\times2^{4}+10\times2^{3}-10\times2^{2}+5\times2 - 1=(2 - 1)^{5}=1$.
②$-160x^{3}$ 解析:$(2x - 1)^{6}$展开后共$7$项,第一项是$(2x)^{6}$;第二项是$6\times(2x)^{5}\times(-1)$;第三项是$15\times(2x)^{4}\times(-1)^{2}$;第四项是$20\times(2x)^{3}\times(-1)^{3}=-160x^{3}$.
(3)三 解析:$8^{2025}=(7 + 1)^{2025}$,其展开式除最后一项外,均含有因数$7$,都能被$7$整除,其展开式的最后一项为$1^{2025}=1$.所以再过$8^{2025}$天是星期三.