《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

1. 改编题 如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A=90^{\circ}$, 将 $\triangle A B C$ 向左平移得到 $\triangle D E F$, 若 $\angle F C G=140^{\circ}$, 则 $\angle C E G$ 为 (C)

A. $30^{\circ}$
B. $40^{\circ}$
C. $50^{\circ}$
D. $60^{\circ}$

答案： C

2. 如图, $\triangle A B E$ 和 $\triangle A D C$ 是 $\triangle A B C$ 分别沿着边 $A B, A C$ 翻折 $180^{\circ}$ 形成的, 若 $\angle B C A: \angle A B C: \angle B A C=28: 5: 3$, 则 $\angle E F C$ 的度数为 (B)
A. $20^{\circ}$
B. $30^{\circ}$
C. $40^{\circ}$
D. $45^{\circ}$

答案： B 解析：
∵∠BCA:∠ABC:∠BAC = 28:5:3，
∴设∠BCA = 28x°，∠ABC = 5x°，∠BAC = 3x°，则28x + 5x + 3x = 180，解得x = 5，
∴∠BCA = 140°，∠ABC = 25°，∠BAC = 15°。由翻折可知△ABC≌△ADC≌△ABE，
∴∠D = ∠ABC = 25°，∠DAC = ∠BAE = ∠BAC = 15°，∠BEA = ∠BCA = 140°。
∴∠DAE = 3∠BAC = 45°。在△AOD中，∠AOD = 180° - ∠DAE - ∠D = 110°，
∴∠EOF = ∠AOD = 110°，
∴∠EFC = ∠BEA - ∠EOF = 140° - 110° = 30°。

3. (2024·南通月考) 如图, 已知在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, \angle B A C=\angle E P F=90^{\circ}, \angle E P F$ 的顶点 $P$ 是 $B C$ 的中点, 两边 $P E, P F$ 分别交 $A B, A C$ 于点 $E, F$, 当 $\angle E P F$ 在 $\triangle A B C$ 内绕顶点 $P$ 旋转时 (点 $E$ 不与 $A, B$ 重合), 给出以下四个结论: (1) $A E=C F$; (2) $\triangle E P F$ 是等腰直角三角形; (3) $2 S_{\text {四边形 } A E P F}=S_{\triangle A B C}$; (4) $B E+C F=E F$. 上述结论中始终正确的有 (B)

A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个

答案： B 解析：
∵∠APE，∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠APE = ∠CPF。
∵AB = AC，∠BAC = 90°，P是BC的中点，
∴AP = CP = BP，∠B = ∠C = 45°，
∴∠CAP = ∠BAP = 45°。在△APE和△CPF中，$\begin{cases} ∠EPA = ∠FPC \\ AP = CP \\ ∠EAP = ∠FCP = 45° \end{cases}$，
∴△APE≌△CPF(ASA)，同理可证△APF≌△BPE，
∴AE = CF，BE = AF，PE = PF，
∴△EPF是等腰直角三角形。则$S_{四边形AEPF}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$，故①②③均正确。
∵AF + AE ＞ EF，
∴BE + CF ＞ EF，故④不成立。故选B。

4. 如图, $\triangle A B E$ 和 $\triangle A D C$ 是 $\triangle A B C$ 分别沿着 $A B, A C$ 边翻折 $180^{\circ}$ 形成的, 若 $\angle B A C=145^{\circ}$, 则 $\angle \theta=$70°.

答案： 70° 解析：
∵∠BAC = 145°，
∴∠ABC + ∠ACB = 35°。由翻折可知，∠EBA = ∠ABC，∠DCA = ∠ACB，
∴∠EBA + ∠ABC + ∠DCA + ∠ACB = 2(∠ABC + ∠ACB) = 70°，即∠EBC + ∠DCB = 70°，
∴θ = 70°。

5. 将两个全等的直角三角形 $A B C$ 和 $D B E$ 按图(1)方式摆放, 其中 $\angle A C B=\angle D E B=90^{\circ}, \angle A=\angle D=30^{\circ}$, 点 $E$ 落在 $A B$ 上, $D E$ 所在直线交 $A C$ 所在直线于点 $F$.
(1) 连接 $B F$, 求证: $C F=E F$.
(2) 若将图(1)中的 $\triangle D B E$ 绕点 $B$ 按顺时针方向旋转角 $\alpha$, 且 $0^{\circ}＜\alpha＜60^{\circ}$, 其他条件不变, 如图(2), 求证: $A F+E F=D E$.
(3) 若将图(1)中的 $\triangle D B E$ 绕点 $B$ 按顺时针方向旋转角 $\beta$, 且 $60^{\circ}＜\beta＜180^{\circ}$, 其他条件不变, 如图(3), 你认为 (2) 中的结论还成立吗? 若成立, 写出证明过程; 若不成立, 请直接写出 $A F, E F$ 与 $D E$ 之间的数量关系.

答案：

(1) 如图①，连接BF，
∵△ABC≌△DBE，
∴BC = BE。
∵∠ACB = ∠FEB = 90°，在Rt△BCF和Rt△BEF中，$\begin{cases} BC = BE \\ BF = BF \end{cases}$，
∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL)，
∴CF = EF。
(2) 如图②，连接BF，
∵△ABC≌△DBE，
∴AC = DE，BC = BE。
∵∠ACB = ∠FEB = 90°，在Rt△BCF和Rt△BEF中，$\begin{cases} BC = BE \\ BF = BF \end{cases}$，
∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL)，
∴EF = CF，
∴AF + EF = AF + CF = AC = DE。
(3) 不成立，数量关系为AF = DE + EF。解析：如图③，连接BF，
∵△ABC≌△DBE，
∴BC = BE。
∵∠ACB = ∠DEB = 90°，
∴△BCF和△BEF是直角三角形。在Rt△BCF和Rt△BEF中，$\begin{cases} BC = BE \\ BF = BF \end{cases}$，
∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL)，
∴CF = EF。
∵AC = DE，
∴AF = AC + FC = DE + EF。

6. 如图, 在 $\mathrm{Rt} \triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, A C=7 \mathrm{~cm}, B C=5 \mathrm{~cm}, C D$ 为 $A B$ 边上的高, 点 $E$ 从点 $B$ 出发, 在直线 $B C$ 上以 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度移动, 过点 $E$ 作 $B C$ 的垂线交直线 $C D$ 于点 $F$.
(1) 求证: $\angle A=\angle B C D$.
证明：∵∠ACB = 90°，CD为AB边上的高，∴∠A + ∠ACD = 90°，∠BCD + ∠ACD = 90°，∴∠A = ∠BCD。
(2) 当 $C F=A B$ 时, 点 $E$ 运动了多长时间? 并说明理由.
解：当点E在射线BC上移动时，∵∠A = ∠BCD，∠BCD = ∠ECF，∴∠A = ∠ECF。在△CFE与△ABC中，$\begin{cases} ∠CEF = ∠ACB \\ ∠ECF = ∠A \\ CF = AB \end{cases}$，∴△CFE≌△ABC(AAS)，∴CE = AC = 7cm，∴BE = BC + CE = 12(cm)，∴t = 12÷2 = 6(s)。当点E在射线CB上移动时，同理△CF'E'≌△ABC(AAS)，∴CE' = AC = 7cm，∴BE' = CE' - CB = 2(cm)，∴t = 2÷2 = 1(s)。综上，当CF = AB时，点E在直线BC上移动了6s或1s。

答案：
(1)
∵∠ACB = 90°，CD为AB边上的高，
∴∠A + ∠ACD = 90°，∠BCD + ∠ACD = 90°，
∴∠A = ∠BCD。
(2) 当点E在射线BC上移动时，
∵∠A = ∠BCD，∠BCD = ∠ECF，
∴∠A = ∠ECF。在△CFE与△ABC中，$\begin{cases} ∠CEF = ∠ACB \\ ∠ECF = ∠A \\ CF = AB \end{cases}$，
∴△CFE≌△ABC(AAS)，
∴CE = AC = 7cm，
∴BE = BC + CE = 12(cm)，
∴t = 12÷2 = 6(s)。当点E在射线CB上移动时，同理△CF'E'≌△ABC(AAS)，
∴CE' = AC = 7cm，
∴BE' = CE' - CB = 2(cm)，
∴t = 2÷2 = 1(s)。综上，当CF = AB时，点E在直线BC上移动了6s或1s。