《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

9. 如图,直线$l_{1},l_{2},l_{3}$表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有 ( )

A. 1处
B. 2处
C. 3处
D. 4处

答案：
D 解析：如图

归纳总结
(1)三角形的三条角平分线交于三角形内一点，并且这一点到三条边的距离相等。(该点被称为三角形的内心，内心的知识我们在九年级会学到)
(2)三角形的一个内角的平分线与其不相邻的两个外角的平分线交于一点，并且这一点到三条边所在直线的距离相等，这样的点有3个。(该点被称为三角形的旁心)
(3)到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个。

10. 如图,在平面直角坐标系中,点$D$的坐标是$(0,-4)$,$DC$是$\triangle ABD$的高,且$DC=4$,$\angle BAD=23^{\circ}$,则$\angle ABO$的度数为______44°.

答案： 44° 解析：
∵点D的坐标是(0,-4)，
∴OD=4。
∵DC是△ABD的高，且DC=4=OD，
∴AD是∠OAB的平分线，
∴∠BAD=∠OAD，而∠BAD=23°，
∴∠BAO=46°。
∴∠ABO的度数为44°。

11. (滨州中考改编)如图,在$\triangle OAB$和$\triangle OCD$中,$OA=OB,OC=OD,OA＞OC,\angle AOB=\angle COD=40^{\circ}$,连接$AC,BD$交于点$M$,连接$OM$.下列结论:①$AC=BD$;②$\angle AMB=40^{\circ}$;③$OM$平分$\angle BOC$;④$MO$平分$\angle BMC$.其中不正确的有______③.(填序号)

答案： ③ 解析：由SAS证明△AOC≌△BOD，得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形外角性质得∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明△OCG≌△ODH，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM(ASA)，得OB=OC。
∵OA=OB，
∴OA=OC，而OA＞OC，故③错误。

12. 教材P53习题T5变式 如图,在$\triangle ABC$中,点$D,E,F$在边$BC$上,点$P$在线段$AD$上,若$PE// AB,\angle PFD=\angle C$,点$D$到$AB$和$AC$的距离相等,求证:点$D$到$PE$和$PF$的距离相等.

答案：
如图，作DM⊥AB于M，交PE于G，作DN⊥AC于N，交PF于H。
∵DM=DN，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠BAD=∠CAD。
∵PE//AB，
∴∠EPD=∠BAD，DG⊥PE。
∵∠PFD=∠C，
∴PF//AC，
∴∠FPD=∠CAD，DH⊥PF，
∴∠EPD=∠FPD，
∴DG=DH，即点D到PE和PF的距离相等。

13. (2023·福州期中)如图,$\triangle ABC$中,点$D$在边$BC$的延长线上,$\angle ACB=116^{\circ}$,$\angle ABC$的平分线交$AD$于点$E$,过点$E$作$EH\perp BD$,垂足为$H$,且$\angle CEH=58^{\circ}$.
(1)求$\angle ACE$的度数;
(2)求证:$AE$平分$\angle CAF$;
(3)若$AC+CD=16,AB=10$,且$S_{\triangle ACD}=24$,求$\triangle ABE$的面积.

答案：

(1)
∵∠ACB=116°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=64°。
∵EH⊥BD，∠CEH=58°，
∴∠DCE=90°-∠CEH=32°，
∴∠ACE=∠ACD-∠DCE=32°。
(2)如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N。
∵BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD，
∴EM=EH。由
(1)可知，∠ACE=∠DCE=32°，即CE平分∠ACD。
∵EN⊥AC，EH⊥CD，
∴EN=EH，
∴EM=EN。又
∵点E在∠CAF的内部，
∴AE平分∠CAF。
(3)由
(2)可得EM=EH=EN，设EM=EH=EN=x，
∵S_{△ACD}=24，
∴S_{△ACE}+S_{△DCE}=24，
∴$\frac{1}{2}AC·EN+\frac{1}{2}CD·EH=24$，即$\frac{1}{2}x·(AC+CD)=24$。又
∵AC+CD=16，
∴x=3，
∴EM=3。
∵AB=10，
∴△ABE的面积为$\frac{1}{2}AB·EM=\frac{1}{2}×10×3=15$。

14. 如图,在$\triangle ABD$中,$\angle BAD=80^{\circ}$,$C$为$BD$延长线上一点,$\angle BAC=130^{\circ}$,$\triangle ABD$的角平分线$BE$与$AC$交于点$E$,连接$DE$,求$\angle DEB$的度数.

答案：
如图，过E作EF⊥AB，交BA的延长线于F，作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H。
∵BE平分∠ABD，
∴EH=EF。
∵∠BAC=130°，∠BAD=80°，
∴∠FAE=∠CAD=50°，
∴EF=EG，
∴EG=EH，
∴DE平分∠CDG，
∴∠HED=∠DEG。设∠DEG=y°，∠GEB=x°，
∵∠EFA=∠EGA=90°，
∴∠GEA=∠FEA=40°。
∵∠EFB=∠EHB=90°，∠EBF=∠EBH，
∴∠FEB=∠HEB，
∴2y+x=80-x，
∴y+x=40，即∠DEB=40°。