《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

1. 教材 P119 活动 1 变式 (2025·孝感期末)
月历中有很多奥秘,我们可以发现其中某些数满足一定的规律.如图是 2024 年 12 月份的月历,用一个长方形任意框出 4 个数,将这 4 个数先平方,然后交叉相加,再相减,结果都是一定的,例如:
$(2^{2}+10^{2})-(3^{2}+9^{2})=14,$
$(12^{2}+20^{2})-(13^{2}+19^{2})=14.$

(1)请你用这个长方形再框出 4 个数,验算一下,看看是否符合这个规律;
答案不唯一,示例:框出的数如图.
![img alt=1-1]
验证为$(4^{2}+12^{2})-(5^{2}+11^{2})=14$.
(2)把框出的 4 个数中左上角的数记为 $ n $,请用含 $ n $ 的式子把这个规律表示出来;
左上角的数记为$n$,则右上角的数为$n + 1$,左下角的数为$n + 7$,右下角的数为$n + 8$,由题意可得$[n^{2}+(n+8)^{2}]-[(n+1)^{2}+(n+7)^{2}]=14$.
(3)请利用整式的运算对以上规律加以证明.
$[n^{2}+(n+8)^{2}]-[(n+1)^{2}+(n+7)^{2}]$
$=n^{2}+n^{2}+16n+64-n^{2}-2n-1-n^{2}-14n-49$
$=14$,则$[n^{2}+(n+8)^{2}]-[(n+1)^{2}+(n+7)^{2}]=14$成立.

答案：
(1)答案不唯一,示例:框出的数如图.
![img alt=1-1]
验证为$(4^{2}+12^{2})-(5^{2}+11^{2})=14$.
(2)左上角的数记为$n$,则右上角的数为$n + 1$,左下角的数为$n + 7$,右下角的数为$n + 8$,由题意可得$[n^{2}+(n+8)^{2}]-[(n+1)^{2}+(n+7)^{2}]=14$.
(3)$[n^{2}+(n+8)^{2}]-[(n+1)^{2}+(n+7)^{2}]$
$=n^{2}+n^{2}+16n+64-n^{2}-2n-1-n^{2}-14n-49$
$=14$,则$[n^{2}+(n+8)^{2}]-[(n+1)^{2}+(n+7)^{2}]=14$成立.

2. (2025·遵义期末)
从边长为 $ a $ 的正方形中剪掉一个边长为 $ b $ 的正方形(如图①),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图②).

(1)根据图②长方形的面积与图①中阴影部分的面积相等可以验证的等式是$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$.
(2)小明根据以上操作去计算 $ (a + 1)(a^{2}+1) $时发现只需要在前面乘一个 $ \frac{a - 1}{a - 1} $即可得到:
$\left(\frac{a - 1}{a - 1}\right)(a + 1)(a^{2}+1)=\left(\frac{a^{2}-1}{a - 1}\right)(a^{2}+1)=\frac{a^{4}-1}{a - 1},$
请根据以上规律计算: $ (a + 1)(a^{2}+1)\cdot(a^{4}+1)\cdots(a^{32}+1)= $$\frac{a^{64}-1}{a - 1}$.
(3)运用以上规律计算 $ (5 + 1)×(5^{2}+1)×(5^{4}+1)×\cdots×(5^{64}+1) $.
解：原式=$\frac{1}{4}×(5 - 1)(5 + 1)(5^{2}+1)(5^{4}+1)×\cdots×(5^{64}+1)=\frac{1}{4}×(5^{2}-1)(5^{2}+1)(5^{4}+1)×\cdots×(5^{64}+1)=\frac{1}{4}×(5^{4}-1)(5^{4}+1)×\cdots×(5^{64}+1)=\frac{1}{4}×(5^{8}-1)\cdots×(5^{64}+1)=\frac{1}{4}×(5^{64}-1)(5^{64}+1)=\frac{5^{128}-1}{4}$.

答案：
(1)$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
(2)$\frac{a^{64}-1}{a - 1}$ 解析:原式$=\frac{1}{a - 1}(a - 1)(a + 1)(a^{2}+1)(a^{4}+1)\cdots(a^{32}+1)=\frac{1}{a - 1}(a^{2}-1)(a^{2}+1)(a^{4}+1)\cdots(a^{32}+1)=\frac{1}{a - 1}(a^{4}-1)(a^{4}+1)\cdots(a^{32}+1)=\frac{1}{a - 1}(a^{8}-1)\cdots(a^{32}+1)=\frac{1}{a - 1}(a^{32}-1)(a^{32}+1)=\frac{a^{64}-1}{a - 1}$.
(3)原式$=\frac{1}{4}\times(5 - 1)(5 + 1)(5^{2}+1)(5^{4}+1)\times\cdots\times(5^{64}+1)=\frac{1}{4}\times(5^{2}-1)(5^{2}+1)(5^{4}+1)\times\cdots\times(5^{64}+1)=\frac{1}{4}\times(5^{4}-1)(5^{4}+1)\times\cdots\times(5^{64}+1)=\frac{1}{4}\times(5^{8}-1)\cdots\times(5^{64}+1)=\frac{1}{4}\times(5^{64}-1)(5^{64}+1)=\frac{5^{128}-1}{4}$.