《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

10. 已知$x\neq0$且$M=(x^{2}+2x + 1)(x^{2}-2x + 1)$,$N=(x^{2}+x + 1)(x^{2}-x + 1)$,则$M$与$N$的大小关系为 (C)
A. $M＞N$
B. $M = N$
C. $M＜N$
D. 无法确定

答案： C 解析:$M-N=(x^{2}+2x+1)(x^{2}-2x+1)-(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)=-3x^{2}.\because x≠0,\therefore x^{2}＞0,\therefore -3x^{2}＜0,\therefore M＜N$.

11. 改编题 (1)$(x - 1)(x + a)$的结果是关于$x$的二次二项式,则$a=$0或1;
(2)已知$(x + p)(x + q)=x^{2}+mx + 12$,其中$p,q$均为正整数,则$m=$13或8或7;
(3)若$x^{2}-3x - 7 = 0$,则$x(x - 1)(x - 2)(x - 3)$的值为63.

答案：
(1)0或1
(2)13或8或7 解析:$(x+p)(x+q)=x^{2}+(p+q)x+pq=x^{2}+mx+12,\therefore pq=12.\because p,q$均为正整数,$12=1×12=2×6=4×3$,又$m=p+q,\therefore m=13$或8或7.
(3)63 解析:$\because x^{2}-3x-7=0,\therefore x^{2}=3x+7$,则原式$=(x^{2}-x)(x^{2}-5x+6)=(2x+7)(-2x+13)=-4x^{2}+12x+91=-4(3x+7)+12x+91=-12x-28+12x+91=63$.

12. 计算:$(1 - x)(1 + x)=$$1-x^{2}$,$(1 - x)(1 + x + x^{2})=$$1-x^{3}$,$\cdots$,猜想$(1 - x)(1 + x + x^{2}+\cdots+x^{n})$的结果是$1-x^{n+1}$.

答案： $1-x^{2}$ $1-x^{3}$ $1-x^{n+1}$ 解析:$\because (1-x)(1+x)=1-x^{2},(1-x)(1+x+x^{2})=1-x^{3},(1-x)(1+x+x^{2}+x^{3})=1-x^{4}$,以此类推,$(1-x)(1+x+x^{2}+... +x^{n})=1-x^{n+1}$.

13. 欢欢和乐乐两人共同计算一道整式乘法题:$(2x + a)(3x + b)$,欢欢由于抄错了第一个多项式中$a$的符号,得到的结果为$6x^{2}-13x + 6$,乐乐由于漏抄了第二个多项式中$x$的系数,得到的结果为$2x^{2}-x - 6$.
(1)你知道式子中$a,b$的值各是多少吗?
(2)请你计算出这道整式乘法题的正确结果.

答案：
(1)欢欢由于抄错了第一个多项式中a的符号,得到的结果为$6x^{2}-13x+6$,则$(2x-a)(3x+b)=6x^{2}+(2b-3a)x-ab=6x^{2}-13x+6$,得$2b-3a=-13$ ①;乐乐由于漏抄了第二个多项式中x的系数,得到的结果为$2x^{2}-x-6$,则$(2x+a)(x+b)=2x^{2}+(2b+a)x+ab=2x^{2}-x-6$,得$2b+a=-1$ ②.解①②组成的方程组,得$\left\{\begin{array}{l} a=3,\\ b=-2.\end{array}\right. $
(2)正确的结果为$(2x+3)(3x-2)=6x^{2}+5x-6$.

14. (2025·合肥期末)我们知道,对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式.例如图①可以得到$(a + b)\cdot(a + 2b)=a^{2}+3ab + 2b^{2}$.请解答下列问题:

(1)图②中所表示的数学等式为$(a + b + c)^{2}=$$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$;利用所得到的结论,解决问题:已知$a + b + c = 20$,$ab + bc + ac = 81$,求$a^{2}+b^{2}+c^{2}$的值;
(2)小红同学用$x$张边长为$a$的正方形,$y$张边长为$b$的正方形,$z$张两边长分别为$a,b$的长方形纸片拼出了一个大长方形,大长方形的长和宽分别为$5a + 8b$,$3a + 7b$,求$x + y + z$的值;
(3)小丽同学用4张边长为$a$的正方形,5张边长为$b$的正方形,12张两边分别为$a,b$的长方形纸片拼出了一个长方形,请求出该长方形较长一边的长.

答案：
(1)$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$
$\because a+b+c=20,ab+bc+ac=81,\therefore 20^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2×81,\therefore a^{2}+b^{2}+c^{2}=238$.
(2)大长方形的面积$=(5a+8b)(3a+7b)=15a^{2}+35ab+24ab+56b^{2}=15a^{2}+59ab+56b^{2}$,
∵ 大长方形的面积$=xa^{2}+yb^{2}+zab,\therefore xa^{2}+yb^{2}+zab=15a^{2}+59ab+56b^{2},\therefore x=15,y=56,z=59,\therefore x+y+z=15+56+59=130$.
(3)长方形的面积$=4a^{2}+12ab+5b^{2}=(2a+5b)(2a+b)$,
∴ 长方形的边长为$2a+5b$和$2a+b.\because 2a+5b＞2a+b$,
∴ 较长一边的长为$2a+5b$.

15. 定义:$L(A)$是多项式$A$化简后的项数.例如多项式$A = x^{2}+2x - 3$,则$L(A)=3$.一个多项式$A$乘多项式$B$,化简得到多项式$C$(即$C = A× B$),如果$L(A)\leqslant L(C)\leqslant L(A)+1$,则称$B$是$A$的“友好多项式”;如果$L(A)=L(C)$,则称$B$是$A$的“特别友好多项式”.
(1)若$A = x - 2$,$B = x + 3$,则$B$是不是$A$的“友好多项式”? 说明理由.
(2)若$A = x - 2$,$B = x^{2}+ax + 4$是关于$x$的多项式且$B$是$A$的“特别友好多项式”,求$a$的值.
(3)若$A = x^{2}-x + 3m$,$B = x^{2}+x + m$是关于$x$的多项式且$B$是$A$的“特别友好多项式”,求$m$的值.
(1)是，理由如下：$(x-2)(x+3)=x^{2}-2x+3x-6=x^{2}+x-6,x^{2}+x-6$的项数比A的项数多1项,则B是A的“友好多项式”.
(2)$a$的值是2.
(3)$m$的值是$\frac{1}{4}$或0.

答案：
(1)B是A的“友好多项式”，理由如下：$(x-2)(x+3)=x^{2}-2x+3x-6=x^{2}+x-6,x^{2}+x-6$的项数比A的项数多1项,则B是A的“友好多项式”.
(2)$(x-2)(x^{2}+ax+4)=x^{3}+ax^{2}+4x-2x^{2}-2ax-8=x^{3}+(a-2)x^{2}+(4-2a)x-8.\because B$是A的“特别友好多项式”，$\therefore a-2=0$且$4-2a=0$,解得$a=2$,
∴ a的值是2.
(3)$(x^{2}-x+3m)(x^{2}+x+m)=x^{4}+x^{3}+mx^{2}-x^{3}-x^{2}-mx+3mx^{2}+3mx+3m^{2}=x^{4}+(4m-1)x^{2}+2mx+3m^{2}.\because B$是A的“特别友好多项式”，$\therefore 4m-1=0$或$m=0$,解得$m=\frac {1}{4}$或0.