《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

1. 阅读下列材料,然后解决问题:
(1) 如图①,在$\triangle ABC$中,若$AB = 12$,$AC = 8$,求$BC$边上的中线$AD$的取值范围.
解决此问题可以用如下方法:延长$AD$到点$E$使$DE = AD$,再连接$BE$,把$AB$,$AC$,$2AD$集中在$\triangle ABE$中. 利用三角形三边的关系即可判断中线$AD$的取值范围是____;
(2) 问题解决:
如图②,在$\triangle ABC$中,$D$是$BC$边上的中点,$DE \perp DF$于点$D$,$DE$交$AB$于点$E$,$DF$交$AC$于点$F$,连接$EF$,求证:$BE + CF ＞ EF$.

答案：

(1) $2 ＜ AD ＜ 10$ 解析：$\because AD$ 是 $BC$ 边上的中线，$\therefore BD = CD$。
在 $\triangle BDE$ 和 $\triangle CDA$ 中，$\begin{cases}BD = CD,\\\angle BDE = \angle CDA,\\DE = DA,\end{cases}$
$\therefore \triangle BDE \cong \triangle CDA(SAS)$，$\therefore BE = AC = 8$。
在 $\triangle ABE$ 中，由三角形的三边关系，得 $AB - BE ＜ AE ＜ AB + BE$，
$\therefore 12 - 8 ＜ AE ＜ 12 + 8$，即 $4 ＜ AE ＜ 20$，
$\therefore 2 ＜ AD ＜ 10$。故答案为 $2 ＜ AD ＜ 10$。
(2) 如图，延长 $FD$ 至点 $M$，使 $DM = DF$，连接 $BM$，$EM$，同
(1) 得 $\triangle BMD \cong \triangle CFD(SAS)$，
$\therefore BM = CF$。$\because DE \perp DF$，$DM = DF$，$\therefore EM = EF$。
在 $\triangle BME$ 中，由三角形的三边关系，得 $BE + BM ＞ EM$，$\therefore BE + CF ＞ EF$。

归纳总结
倍长中线法：如图，在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 为 $BC$ 上的中点 (图①为倍长中线，图②③为倍长类中线)。倍长中线法常用于构造全等三角形 (通常用 $SAS$ 证明) 或证明边之间的关系 (将不在同一个三角形的边转移到同一个三角形中，从而利用三边关系证明)。该方法构造出的全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形绕中点旋转 $180^{\circ}$ 得到，其实是利用了全等变换中的“旋转”思维。

2. 如图,$CE$,$CB$分别是$\triangle ABC$与$\triangle ADC$的中线,且$AB = AC$.求证:$CD = 2CE$.

证明:证法一：延长 $CE$ 到点 $F$，使 $EF = CE$，连接 $FB$。$\because CE$ 是 $\triangle ABC$ 的中线，$\therefore AE = EB$。又 $\because \angle AEC = \angle BEF$，$\therefore \triangle AEC \cong \triangle BEF(SAS)$。$\therefore \angle A = \angle EBF$，$AC = FB$。$\because AB = AC$，$\therefore \angle ABC = \angle ACB$，$\therefore \angle CBD = \angle A + \angle ACB = \angle EBF + \angle ABC = \angle CBF$。$\because CB$ 是 $\triangle ADC$ 的中线，$\therefore AB = BD$。又 $\because AB = AC$，$AC = FB$，$\therefore FB = BD$。又 $CB = CB$，$\therefore \triangle CBF \cong \triangle CBD(SAS)$，$\therefore CD = CF = CE + EF = 2CE$。
证法二：过点 $B$ 作 $BF // AC$ 交 $CE$ 的延长线于点 $F$，$\because CE$ 是 $\triangle ABC$ 的中线，$BF // AC$，$\therefore AE = BE$，$\angle A = \angle ABF$，$\angle ACE = \angle F$。在 $\triangle ACE$ 和 $\triangle BFE$ 中，$\begin{cases}\angle A = \angle ABF,\\\angle ACE = \angle F,\\AE = BE,\end{cases}$ $\therefore \triangle ACE \cong \triangle BFE(AAS)$，$\therefore CE = EF$，$AC = BF$，$\therefore CF = 2CE$。又 $\because AC = AB$，$CB$ 是 $\triangle ADC$ 的中线，$\therefore AC = AB = BD = BF$，$\angle ACB = \angle ABC$。$\because \angle DBC = \angle A + \angle ACB = \angle ABF + \angle ABC$，$\therefore \angle DBC = \angle FBC$。在 $\triangle DBC$ 和 $\triangle FBC$ 中，$\begin{cases}DB = FB,\\\angle DBC = \angle FBC,\\BC = BC,\end{cases}$$\therefore \triangle DBC \cong \triangle FBC(SAS)$，$\therefore DC = CF = 2CE$。

答案： 证法一：延长 $CE$ 到点 $F$，使 $EF = CE$，连接 $FB$。$\because CE$ 是 $\triangle ABC$ 的中线，$\therefore AE = EB$。又 $\because \angle AEC = \angle BEF$，$\therefore \triangle AEC \cong \triangle BEF(SAS)$。$\therefore \angle A = \angle EBF$，$AC = FB$。$\because AB = AC$，$\therefore \angle ABC = \angle ACB$，$\therefore \angle CBD = \angle A + \angle ACB = \angle EBF + \angle ABC = \angle CBF$。$\because CB$ 是 $\triangle ADC$ 的中线，$\therefore AB = BD$。又 $\because AB = AC$，$AC = FB$，$\therefore FB = BD$。又 $CB = CB$，$\therefore \triangle CBF \cong \triangle CBD(SAS)$，$\therefore CD = CF = CE + EF = 2CE$。
证法二：过点 $B$ 作 $BF // AC$ 交 $CE$ 的延长线于点 $F$，$\because CE$ 是 $\triangle ABC$ 的中线，$BF // AC$，$\therefore AE = BE$，$\angle A = \angle ABF$，$\angle ACE = \angle F$。在 $\triangle ACE$ 和 $\triangle BFE$ 中，$\begin{cases}\angle A = \angle ABF,\\\angle ACE = \angle F,\\AE = BE,\end{cases}$ $\therefore \triangle ACE \cong \triangle BFE(AAS)$，$\therefore CE = EF$，$AC = BF$，$\therefore CF = 2CE$。又 $\because AC = AB$，$CB$ 是 $\triangle ADC$ 的中线，$\therefore AC = AB = BD = BF$，$\angle ACB = \angle ABC$。$\because \angle DBC = \angle A + \angle ACB = \angle ABF + \angle ABC$，$\therefore \angle DBC = \angle FBC$。在 $\triangle DBC$ 和 $\triangle FBC$ 中，$\begin{cases}DB = FB,\\\angle DBC = \angle FBC,\\BC = BC,\end{cases}$
$\therefore \triangle DBC \cong \triangle FBC(SAS)$，$\therefore DC = CF = 2CE$。

3. 如图,$AD$为$\triangle ABC$的角平分线,$E$为$BC$的中点,$EF // AD$交$BA$的延长线于点$F$,交$AC$于点$G$.
(1) 求证:$AF = AG$;
(2) 求证:$BF = CG$;
(3) 求$\frac{AB + AC}{CG}$的值.

答案：

(1) 如图①所示，$\because AD$ 平分 $\angle BAC$，$\therefore \angle 1 = \angle 2$。
$\because AD // EF$，$\therefore \angle F = \angle 1$，$\angle 2 = \angle 3$。
$\therefore \angle F = \angle 3$。$\therefore AF = AG$。


(2) 如图②所示，延长 $FE$ 到 $H$ 使 $FE = EH$，连接 $CH$。在 $\triangle BFE$ 和 $\triangle CHE$ 中，$\begin{cases}EF = EH,\\\angle FEB = \angle HEC,\\BE = CE,\end{cases}$ $\therefore \triangle BFE \cong \triangle CHE(SAS)$。$\therefore \angle H = \angle F$，$BF = CH$。又 $\because \angle F = \angle 3 = \angle 4$，$\therefore \angle H = \angle 4$，$\therefore HC = CG$，$\therefore BF = CG$。
(3) $\frac{AB + AC}{CG} = \frac{AB + AG + GC}{GC} = \frac{AB + AF + GC}{GC} = \frac{BF + GC}{GC} = \frac{2GC}{GC} = 2$。

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,$M$是$AC$的中点,$AD \perp BM$交$BC$于点$D$,连接$DM$,求证:$\angle 1 = \angle 2$.

答案：
如图，过点 $C$ 作 $CF // AB$ 交 $AD$ 的延长线于 $F$，$\therefore \angle ACF = \angle BAM = 90^{\circ}$。
由条件知 $\angle ABM = \angle FAC$。
$\because \angle BAM = \angle FCA = 90^{\circ}$，$AB = AC$，
$\therefore \triangle ABM \cong \triangle CAF$，$\therefore AM = CF$，$\angle 1 = \angle F$。
$\because \triangle ABC$ 是等腰直角三角形，
$\therefore \angle ACB = 45^{\circ}$，
$\therefore \angle BCF = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$，$\therefore \angle ACB = \angle BCF$。
$\because M$ 是 $AC$ 的中点，$\therefore AM = MC$，$\therefore MC = FC$。
又 $DC = DC$，$\therefore \triangle DMC \cong \triangle DFC$，
$\therefore \angle 2 = \angle F$，$\therefore \angle 1 = \angle 2$。

归纳总结
作平行线法一般是过线段的端点作某条特定线段的平行线，从而构造全等三角形。作平行线构造的全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形通过平移、旋转或翻折得到。