《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

13. 计算:$ \frac{20252024^{2}}{20252023^{2}[phone]^{2}-2} $.

答案： 原式 $ =\frac{20252024^{2}}{(20252024-1)^{2}+(20252024+1)^{2}-2}=\frac{20252024^{2}}{2×20252024^{2}+2×1^{2}-2}=\frac{20252024^{2}}{2×20252024^{2}}=\frac{1}{2} $。

14. (2025·重庆期中)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著,他在第二卷“几何与代数”中,阐述了数与形是一家,即通过“以数解形”和“以形助数”,可以把代数公式与几何图形相互转化.如图①,可以表示为公式①:$ (x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2} $.
(1)观察下列图形,将它们与下列公式对应起来.(填写对应公式的序号)
公式②:$ (x+y)^{2}=(x-y)^{2}+4 x y $
公式③:$ x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y) $
公式④:$ (x-p)(x-q)=x^{2}-(p+q) x+p q $
图②对应公式③,图③对应公式④,图④对应公式②.
(2)如图③,若$ p=2, q=4 $,且空白部分的面积为48,求大正方形的边长$ x $的值.为了解决这个问题,小敏将阴影部分平移至如图⑤所示位置,则空白部分的面积可表示为$ (x-2)(x-4) $,小敏运用“整体思想”,设$ x-2=a, x-4=b $,结合公式②,则可计算出$ a+b $的值,从而求出边长$ x $.请根据材料,帮助小敏完成后续的解答过程.
(3)如图⑥,若$ p=q $,空白部分的面积为121,且正方形$ ABCD $与正方形$ EFGH $的面积之和为173,求正方形$ ABCD $与正方形$ EFGH $的面积之差.

答案：
(1) ③ ④ ②
(2) 设 $ a=x-2,b=x-4,\therefore a+b=x-2+x-4=2x-6,a-b=x-2-(x-4)=2 $，由题意知，$ (x-2)(x-4)=48,\therefore ab=48 $，由公式②，可得 $ (a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab $，即 $ (a+b)^{2}=2^{2}+4×48,\therefore (a+b)^{2}=196,\therefore a+b=16 $ 或 $ a+b=-16,\therefore 2x-6=16 $ 或 $ 2x-6=-16 $，解得 $ x=11 $ 或 $ x=-5 $（舍去），$ \therefore $ 大正方形的边长 $ x $ 的值为 11。
(3) 由题意知，$ S_{空白}=(x-p)(x-q)=(x-p)^{2}=121,S_{正方形ABCD}+S_{正方形EFGH}=x^{2}+p^{2}=173,\therefore x-p=11 $ 或 $ x-p=-11 $（舍去），$ \therefore (x-p)^{2}-(x^{2}+p^{2})=121-173=-52 $，整理得 $ 2px=52,\therefore (x+p)^{2}=x^{2}+2px+p^{2}=225,\therefore x+p=15 $ 或 $ x+p=-15 $（舍去），$ \therefore S_{正方形ABCD}-S_{正方形EFGH}=x^{2}-p^{2}=(x+p)(x-p)=15×11=165,\therefore $ 正方形 $ ABCD $ 与正方形 $ EFGH $ 的面积之差为 165。

15. (1)若多项式$ 4 x^{2}+1 $与一个单项式$ M $的和是一个完全平方式,则$ M= $$ ±4x $ 或 $ 4x^{4} $ 或 $ -4x^{2} $ 或 $ -1 $;
(2)(泰州中考)已知$ a=2 m^{2}-m n, b=m n-2 n^{2}, c=m^{2}-n^{2}(m \neq n) $,比较$ a, b, c $的大小;$ b＜c＜a $
(3)已知$ x, y $是实数且满足$ x^{2}+x y+y^{2}-2=0 $,设$ M=x^{2}-x y+y^{2} $,求$ M $的取值范围.$ \frac{2}{3}≤M≤6 $

答案：
(1) $ ±4x $ 或 $ 4x^{4} $ 或 $ -4x^{2} $ 或 -1 解析：$ \because 4x^{2}+1±4x=(2x±1)^{2};4x^{2}+1+4x^{4}=(2x^{2}+1)^{2};4x^{2}+1-4x^{2}=(±1)^{2};4x^{2}+1-1=(±2x)^{2},\therefore $ 单项式 $ M $ 可以是 $ ±4x,4x^{4},-4x^{2},-1 $ 中的任意一个。
(2) $ a-b=(2m^{2}-mn)-(mn-2n^{2})=(m^{2}+n^{2}-2mn)+m^{2}+n^{2}=(m-n)^{2}+m^{2}+n^{2}.\because m≠n,\therefore (m-n)^{2}+m^{2}+n^{2}＞0,\therefore b＜a.a-c=(2m^{2}-mn)-(m^{2}-n^{2})=m^{2}-mn+n^{2}=(m-\frac{n}{2})^{2}+\frac{3}{4}n^{2}≥0 $，当且仅当 $ m-\frac{n}{2}=0 $ 且 $ n=0 $ 时取等号，此时 $ m=n=0 $ 与 $ m≠n $ 矛盾，$ \therefore (m-\frac{n}{2})^{2}+\frac{3}{4}n^{2}＞0,\therefore c＜a $。同理可得 $ b＜c $，故 $ b＜c＜a $。
(3) 由题意得 $ \begin{cases}x^{2}+xy+y^{2}=2, & ①\\x^{2}-xy+y^{2}=M, & ②\end{cases} $ $ (①+②)÷2 $，得 $ x^{2}+y^{2}=\frac{M+2}{2} $ ③，$ ①-② $，得 $ 2xy=2-M $ ④。$ ③-④ $，得 $ (x-y)^{2}=\frac{3M}{2}-1≥0 $，解得 $ M≥\frac{2}{3} $，$ ③+④ $，得 $ (x+y)^{2}=-\frac{M}{2}+3≥0 $，解得 $ M≤6,\therefore \frac{2}{3}≤M≤6 $。