《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

13. (1)已知$\frac {a}{b}=\frac {c}{d}=2$,求$\frac {a+b}{a}$和$\frac {c-d}{c+d}$的值;$\frac {a+b}{a}=$$\frac {3}{2}$，$\frac {c-d}{c+d}=$$\frac {1}{3}$
(2)已知$\frac {a}{3}=\frac {b}{4}=\frac {c}{5}$,求$\frac {ab-bc+ac}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$的值.$\frac {7}{50}$

答案：
(1) $ \because \frac { a } { b } = \frac { c } { d } = 2 $，$ \therefore a = 2 b $，$ c = 2 d $，$ \therefore \frac { a + b } { a } = \frac { 2 b + b } { 2 b } = \frac { 3 } { 2 } $，$ \frac { c - d } { c + d } = \frac { 2 d - d } { 2 d + d } = \frac { 1 } { 3 } $
(2) 设 $ \frac { a } { 3 } = \frac { b } { 4 } = \frac { c } { 5 } = k $，则 $ a = 3 k $，$ b = 4 k $，$ c = 5 k $，则 $ \frac { ab - bc + ac } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } = \frac { 3 k \cdot 4 k - 4 k \cdot 5 k + 3 k \cdot 5 k } { ( 3 k ) ^ { 2 } + ( 4 k ) ^ { 2 } + ( 5 k ) ^ { 2 } } = \frac { 7 k ^ { 2 } } { 50 k ^ { 2 } } = \frac { 7 } { 50 } $

14. 在等式$\frac {-2a(a-x)}{6x^{2}(a+x)(a-x)}=\frac {a(a+x)}{Mx}$中,用含a,x的式子表示M,并写出上述等式成立的条件.

答案： 把 $ \frac { - 2 a ( a - x ) } { 6 x ^ { 2 } ( a + x ) ( a - x ) } $ 的分子、分母都除以 $ - 2 ( a - x ) $，得 $ \frac { a } { - 3 x ^ { 2 } ( a + x ) } $。把 $ \frac { a } { - 3 x ^ { 2 } ( a + x ) } $ 的分子、分母都乘 $ ( a + x ) $，得 $ \frac { a ( a + x ) } { - 3 x ^ { 2 } ( a + x ) ^ { 2 } } $。$ \therefore \frac { - 2 a ( a - x ) } { 6 x ^ { 2 } ( a + x ) ( a - x ) } = \frac { a ( a + x ) } { - 3 x ^ { 2 } ( a + x ) ^ { 2 } } $。$ \because \frac { - 2 a ( a - x ) } { 6 x ^ { 2 } ( a + x ) ( a - x ) } = \frac { a ( a + x ) } { M x } $，$ \therefore M = - 3 x ( a + x ) ^ { 2 } $。上述等式成立的条件是 $ x \neq 0 $，$ a + x \neq 0 $，$ a - x \neq 0 $。

15. (1) 一题多解 已知$\frac {1}{x}-\frac {1}{y}=3$,则分式$\frac {2x+3xy-2y}{x-xy-y}$的值为$\frac { 3 } { 4 }$;
(2)已知$a-\frac {1}{a}=5$,则$\frac {a^{2}}{a^{4}-a^{2}+1}$的值为$\frac { 1 } { 26 }$.

答案：
(1) $ \frac { 3 } { 4 } $ 解析：$ \frac { ( 2 x + 3 x y - 2 y ) \div ( x y ) } { ( x - x y - y ) \div ( x y ) } = \frac { \frac { 2 } { y } + 3 - \frac { 2 } { x } } { \frac { 1 } { y } - 1 - \frac { 1 } { x } } = \frac { 2 ( \frac { 1 } { y } - \frac { 1 } { x } ) + 3 } { \frac { 1 } { y } - \frac { 1 } { x } - 1 } = \frac { 3 } { 4 } $
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(1)题多解]
(2) $ \frac { 1 } { 26 } $ 解析：$ \because a - \frac { 1 } { a } = 5 $，$ \therefore ( a - \frac { 1 } { a } ) ^ { 2 } = 25 $，即 $ a ^ { 2 } - 2 + \frac { 1 } { a ^ { 2 } } = 25 $，$ \therefore a ^ { 2 } + \frac { 1 } { a ^ { 2 } } = 27 $，$ \therefore \frac { a ^ { 2 } } { a ^ { 4 } - a ^ { 2 } + 1 } = \frac { 1 } { a ^ { 2 } + \frac { 1 } { a ^ { 2 } } - 1 } = \frac { 1 } { 27 - 1 } = \frac { 1 } { 26 } $

16. 定义:在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.
如:$\frac {x-1}{x+1},\frac {x^{2}}{x-1}$这样的分式就是假分式;再如:$\frac {3}{x+1},\frac {2x}{x^{2}+1}$这样的分式就是真分式.类似地,假分式也可以化为带分式(整式与真分式的和的形式).
如:$\frac {x-1}{x+1}=\frac {(x+1)-2}{x+1}=1-\frac {2}{x+1};$
再如:$\frac {x^{2}}{x-1}=\frac {x^{2}-1+1}{x-1}=\frac {(x+1)(x-1)+1}{x-1}=x+1+\frac {1}{x-1}.$
(1)下列各式:①$\frac {x+1}{x}$;②$\frac {2+x}{2}$;③$\frac {x+2}{x+1}$;④$\frac {y^{2}+1}{y^{2}}$,是假分式的有____①③④(填序号);
(2)将假分式$\frac {2x-1}{x+1}$化为带分式的形式;$\frac { 2 x - 1 } { x + 1 } = \frac { 2 x + 2 - 3 } { x + 1 } = 2 - \frac { 3 } { x + 1 }$
(3)已知整数x使分式$\frac {2x^{2}+9x-11}{x+2}$的值为整数,求出满足条件的所有整数x的值;$x=-1$或$x=-3$或$x=1$或$x=-5$或$x=5$或$x=-9$或$x=19$或$x=-23$
(4)一个三位数m,个位数字是百位数字的两倍.另一个两位数n,十位数字与m的百位数字相同,个位数字与m的十位数字相同.若这个三位数的平方能被这个两位数整除,求满足条件的两位数n.36

答案：
(1) ①③④
(2) $ \frac { 2 x - 1 } { x + 1 } = \frac { 2 x + 2 - 3 } { x + 1 } = 2 - \frac { 3 } { x + 1 } $
(3) $ \frac { 2 x ^ { 2 } + 9 x - 11 } { x + 2 } = \frac { 2 ( x + 2 ) ^ { 2 } + ( x + 2 ) - 21 } { x + 2 } = 2 ( x + 2 ) + 1 - \frac { 21 } { x + 2 } = 2 x + 5 - \frac { 21 } { x + 2 } $。$ \because x $ 是整数，分式的值也是整数，$ \therefore \frac { 21 } { x + 2 } $ 是整数，$ \therefore x = - 1 $ 或 $ x = - 3 $ 或 $ x = 1 $ 或 $ x = - 5 $ 或 $ x = 5 $ 或 $ x = - 9 $ 或 $ x = 19 $ 或 $ x = - 23 $
(4) 设 $ m $ 的百位数字为 $ a $，十位数字为 $ b $，则 $ m $ 的个位数字为 $ 2 a $，$ n $ 的十位数字为 $ a $，个位数字为 $ b $，$ \therefore m = 100 a + 10 b + 2 a $，$ n = 10 a + b $，$ \therefore \frac { m ^ { 2 } } { n } = \frac { ( 100 a + 10 b + 2 a ) ^ { 2 } } { 10 a + b } = \frac { [ 10 ( 10 a + b ) + 2 a ] ^ { 2 } } { 10 a + b } = \frac { [ 10 ( 10 a + b ) ] ^ { 2 } + 2 [ 10 ( 10 a + b ) \cdot 2 a ] + 4 a ^ { 2 } } { 10 a + b } = \frac { 100 ( 10 a + b ) ^ { 2 } + 40 a ( 10 a + b ) + 4 a ^ { 2 } } { 10 a + b } = 100 ( 10 a + b ) + 40 a + \frac { 4 a ^ { 2 } } { 10 a + b } $。由题意可得，$ 0 ＜ a ＜ 5 $，$ 0 \leq b \leq 9 $，且 $ a $，$ b $ 均为整数。$ \because $ 这个三位数的平方能被这个两位数整除，$ \therefore 100 ( 10 a + b ) + 40 a + \frac { 4 a ^ { 2 } } { 10 a + b } $ 为整数，即 $ \frac { 4 a ^ { 2 } } { 10 a + b } $ 为整数，当 $ a = 1 $ 时，$ \frac { 4 a ^ { 2 } } { 10 a + b } = \frac { 4 } { 10 + b } $，没有满足题意的 $ b $ 值；当 $ a = 2 $ 时，$ \frac { 4 a ^ { 2 } } { 10 a + b } = \frac { 16 } { 20 + b } $，没有满足题意的 $ b $ 值；当 $ a = 3 $ 时，$ \frac { 4 a ^ { 2 } } { 10 a + b } = \frac { 36 } { 30 + b } $，$ b = 6 $；当 $ a = 4 $ 时，$ \frac { 4 a ^ { 2 } } { 10 a + b } = \frac { 64 } { 40 + b } $，没有满足题意的 $ b $ 值。综上，满足条件的两位数 $ n $ 为 36。