《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

7. (2025·商丘期末)如图,这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图,伞骨$AB=AC$,D,E分别是AB,AC的中点,DM,EM是连接弹簧和伞骨的支架,且$DM=EM$.在弹簧M向上滑动的过程中,若$∠MAD=30^{\circ }$,则$∠DAE=$(60°)

A. $60^{\circ }$
B. $50^{\circ }$
C. $40^{\circ }$
D. $30^{\circ }$

答案： A 解析：$\because D$，$E$ 分别是 $AB$，$AC$ 的中点，$\therefore AD = \frac{1}{2}AB$，$AE = \frac{1}{2}AC$。$\because AB = AC$，$\therefore AD = AE$。在 $\triangle ADM$ 与 $\triangle AEM$ 中，$\begin{cases} AD = AE, \\ DM = EM, \\ AM = AM, \end{cases}$ $\therefore \triangle ADM \cong \triangle AEM(SSS)$，$\therefore \angle MAE = \angle MAD = 30^{\circ}$，$\therefore \angle DAE = \angle MAE + \angle MAD = 60^{\circ}$。故A正确。

8. (2025·太原期末)如图,已知四边形OABC与四边形$O'A'B'C'$,小华在OA,$O'A'$上分别取点D,$D'$,使$OD=O'D'$.在OC,$O'C'$上分别取点E,$E'$,使$OE=O'E'$.为判断$∠AOC$与$∠A'O'C'$的大小关系.应比较( )

A. 线段CD与$C'D'$的长
B. 线段DE与$D'E'$的长
C. 线段CE与$C'E'$的长
D. 线段OB与$O'B'$的长

答案：
B 解析：连接 $DE$，$D'E'$，如图所示，


当 $DE = D'E'$ 时，$\triangle ODE \cong \triangle O'D'E'$。理由如下：在 $\triangle ODE$ 和 $\triangle O'D'E'$ 中，$\begin{cases} OD = O'D', \\ OE = O'E', \\ DE = D'E', \end{cases}$ $\therefore \triangle ODE \cong \triangle O'D'E'(SSS)$，$\therefore \angle AOC = \angle A'O'C'$，$\therefore$ 要判断 $\angle AOC$ 与 $\angle A'O'C'$ 的大小关系，判断线段 $DE$ 与 $D'E'$ 的长即可。当 $DE = D'E'$ 时，$\angle AOC = \angle A'O'C'$；当 $DE ＞ D'E'$ 时，$\angle AOC ＞ \angle A'O'C'$；当 $DE ＜ D'E'$ 时，$\angle AOC ＜ \angle A'O'C'$。故选B。

9. 如图,$AD=CB$,E,F是AC上两动点,且$DE=BF$.
(1)若点E,F运动至如图①所示的位置,且有$AF=CE$,求证:$△ADE\cong △CBF$.
$\because AF = CE$，$\therefore AF + EF = CE + EF$，即 $AE = CF$。在 $\triangle ADE$ 和 $\triangle CBF$ 中，$\begin{cases} AD = CB, \\ DE = BF, \\ AE = CF, \end{cases}$ $\therefore \triangle ADE \cong \triangle CBF(SSS)$。
(2)若点E,F运动至如图②所示的位置,仍有$AF=CE$,则$△ADE\cong △CBF$还成立吗? 为什么?
$\triangle ADE \cong \triangle CBF$ 仍成立。理由如下：$\because AF = CE$，$\therefore AF - EF = CE - EF$，即 $AE = CF$。在 $\triangle ADE$ 和 $\triangle CBF$ 中，$\begin{cases} AD = CB, \\ DE = BF, \\ AE = CF, \end{cases}$ $\therefore \triangle ADE \cong \triangle CBF(SSS)$。
(3)在(2)的条件下,若点E,F不重合,则AD和CB平行吗? 请说明理由.
$AD // CB$。理由如下：$\because \triangle ADE \cong \triangle CBF$，$\therefore \angle A = \angle C$，$\therefore AD // CB$。

答案：
(1)$\because AF = CE$，$\therefore AF + EF = CE + EF$，即 $AE = CF$。在 $\triangle ADE$ 和 $\triangle CBF$ 中，$\begin{cases} AD = CB, \\ DE = BF, \\ AE = CF, \end{cases}$ $\therefore \triangle ADE \cong \triangle CBF(SSS)$。
(2)$\triangle ADE \cong \triangle CBF$ 仍成立。理由如下：$\because AF = CE$，$\therefore AF - EF = CE - EF$，即 $AE = CF$。在 $\triangle ADE$ 和 $\triangle CBF$ 中，$\begin{cases} AD = CB, \\ DE = BF, \\ AE = CF, \end{cases}$ $\therefore \triangle ADE \cong \triangle CBF(SSS)$。
(3)$AD // CB$。理由如下：$\because \triangle ADE \cong \triangle CBF$，$\therefore \angle A = \angle C$，$\therefore AD // CB$。

10. (2024·泰州月考)已知:如图①,在$△ABC$中,点D是AC上一定点,点E是AB上一动点.
(1)设$∠ABC=α,∠ACB=β$.
①当$α+β=110^{\circ }$时,求$∠1+∠2$的度数;
②在图②中,作出点E使$∠BED$与β互补(要求尺规作图,保留作图痕迹.不写作法).
(2)把$△ABC$沿着DE所在的直线折叠,使A的对应点$A'$落在$△ABC$的外部,如图③,$∠ABC$的平分线和与$∠ACB$相邻的外角的平分线相交于点G.
①求证:$∠G=\frac {1}{2}∠A$;
②当$∠1=78^{\circ },∠2=160^{\circ }$时,试探究$∠G$是否为定值,若是定值,求出$∠G$的度数,若不是定值,请说明理由.

答案：

(1)①$\because \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$，$\angle 1 + \angle 2 + \angle A = 180^{\circ}$，$\therefore \angle 1 + \angle 2 = \angle B + \angle C$。$\because \angle ABC = \alpha$，$\angle ACB = \beta$，$\alpha + \beta = 110^{\circ}$，$\therefore \angle 1 + \angle 2 = 110^{\circ}$。
②如图①，作 $\angle ADE = \angle B$，点 $E$ 即为所求，

由①可得 $\angle ADE + \angle AED = \angle B + \angle C$，$\because \angle ADE = \angle B$，$\therefore \angle AED = \angle C$。$\because \angle AED + \angle BED = 180^{\circ}$，$\therefore \angle BED + \angle ACB = \angle BED + \beta = 180^{\circ}$，$\therefore \angle BED$ 与 $\beta$ 互补。
(2)①如图②，根据题意得 $BG$ 平分 $\angle ABC$，$CG$ 平分 $\angle ACF$，$\therefore \angle GBC = \frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle GCD = \frac{1}{2}\angle ACF$。$\because \angle ACF = 180^{\circ} - \angle ACB$，$\therefore \angle GCD = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle ACB) = 90^{\circ} - \frac{1}{2}\angle ACB$。$\because \angle A = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle ACB$，$\angle G = 180^{\circ} - \angle GBC - \angle GCB$，$\therefore \angle G = 180^{\circ} - \frac{1}{2}\angle ABC - \angle ACB - (90^{\circ} - \frac{1}{2}\angle ACB) = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle ABC - \angle ACB)$，$\therefore \angle G = \frac{1}{2}\angle A$。


②$\angle G$ 是定值，$\angle G = 20.5^{\circ}$。如图③，$\because \angle A' + \angle 1 = \angle 3$，$180^{\circ} - \angle A - \angle ADA' = \angle 3$，$\angle ADA' = 180^{\circ} - \angle 2 = 20^{\circ}$，由折叠的性质得到 $\angle A' = \angle A$，$\therefore \angle A' + \angle 1 = 180^{\circ} - \angle A - 20^{\circ}$，即 $\angle A + \angle A' = 160^{\circ} - \angle 1 = 82^{\circ}$，$\therefore \angle A' = \angle A = 41^{\circ}$，由①得 $\angle G = \frac{1}{2}\angle A = 20.5^{\circ}$。