《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

18. (2023·大庆中考)已知$ ( x - 2 ) ^ { x + 1 } = 1 $,则x的值为-1，1，3.

答案： -1，1，3 解析: $ \because (x - 2)^{x + 1} = 1 $，$ \therefore $ 当 $ x + 1 = 0 $ 时，$ x = -1 $；当 $ x - 2 = 1 $ 时，$ x = 3 $；当 $ x - 2 = -1 $ 时，$ x = 1 $，此时 $ x + 1 = 2 $，等式成立。故答案为 -1，1，3。

19. (凉山州中考)阅读以下材料:
苏格兰数学家纳皮尔是对数的创始人.他发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系.对数的定义:一般地,若$ a ^ { x } = N ( a ＞ 0 $且$ a \neq 1 ) $,那么x叫作以a为底N的对数,记作$ x = \log _ { a } N $,比如指数式$ 2 ^ { 4 } = 16 $可以转化为对数式$ 4 = \log _ { 2 } 16 $,对数式$ 2 = \log _ { 3 } 9 $可以转化为指数式$ 3 ^ { 2 } = 9 $.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:$ \log _ { a } ( M \cdot N ) = \log _ { a } M + \log _ { a } N ( a ＞ 0 , a \neq 1 , M ＞ 0 , N ＞ 0 ) $,理由如下:
设$ \log _ { a } M = m , \log _ { a } N = n $,则$ M = a ^ { m } , N = a ^ { n } $,
$ \therefore M \cdot N = a ^ { m } \cdot a ^ { n } = a ^ { m + n } $.
由对数的定义得$ m + n = \log _ { a } ( M \cdot N ) $.
又$ \because m + n = \log _ { a } M + \log _ { a } N $,
$ \therefore \log _ { a } ( M \cdot N ) = \log _ { a } M + \log _ { a } N $.
根据材料,结合所学知识,解答下列问题:
(1)填空:①$ \log _ { 2 } 32 = $5,②$ \log _ { 3 } 27 = $3,③$ \log _ { 7 } 1 = $0;
(2)求证:$ \log _ { a } \frac { M } { N } = \log _ { a } M - \log _ { a } N ( a ＞ 0 , a \neq 1 , M ＞ 0 , N ＞ 0 ) $;
(3)拓展运用:计算$ \log _ { 5 } 125 + \log _ { 5 } 6 - \log _ { 5 } 30 $=2.

答案：
(1) 5 3 0
(2) 设 $ \log_{a}M = m $，$ \log_{a}N = n $，则 $ M = a^{m} $，$ N = a^{n} $，$ \therefore \frac{M}{N} = \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} $。由对数的定义得 $ m - n = \log_{a}\frac{M}{N} $，又 $ \because m - n = \log_{a}M - \log_{a}N $，$ \therefore \log_{a}\frac{M}{N} = \log_{a}M - \log_{a}N (a ＞ 0, a \neq 1, M ＞ 0, N ＞ 0) $。
(3) 原式 $ = \log_{5}(125 \times 6 \div 30) = \log_{5}25 = 2 $。

20. 我们已经学习了多项式除以单项式,而多项式除以多项式一般可以用竖式计算,步骤如下:
①把被除式、除式按某个字母作降幂排列,并把所缺的项用零补齐;②用被除式的第一项除以除式第一项,得到商式的第一项;③用商式的第一项去乘除式,把积写在被除式下面(同类项对齐),消去相等项;④把减得的差当作新的被除式,再按照上面的方法继续演算,直到余式为零或余式的次数低于除式的次数为止,被除式=除式×商式+余式.若余式为零,则说明这个多项式能被另一个多项式整除.
例如:计算$ ( 6 x ^ { 4 } - 7 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 1 ) ÷ ( 2 x + 1 ) $,可用竖式计算(如图),所以$ 6 x ^ { 4 } - 7 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 1 $除以$ 2 x + 1 $,商式为$ 3 x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } + 2 x - 1 $,余式为0.

根据阅读材料,请回答下列问题:
(1)$ ( x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } - 2 x - 3 ) ÷ ( x - 3 ) = $____;
(2)$ ( 6 x ^ { 3 } + 14 x ^ { 2 } + 23 ) ÷ ( 3 x ^ { 2 } - 2 x + 4 ) $,商式为____,余式为____;
(3)若关于x的多项式$ 2 x ^ { 3 } + a x ^ { 2 } + b x - 3 $能被三项式$ x ^ { 2 } - x + 3 $整除,且a,b均为整数,求满足以上条件的a,b的值及商式.

答案：

(1) $ x^{2} + x + 1 $
(2) $ 2x + 6 $ $ 4x - 1 $
(3)
$ \because $ 多项式 $ 2x^{3} + ax^{2} + bx - 3 $ 能被三项式 $ x^{2} - x + 3 $ 整除，$ \therefore b + a - 4 = 0 $，$ -9 - 3a = 0 $，$ \therefore a = -3 $，$ b = 7 $，$ \therefore $ 商式为 $ 2x - 1 $。
一题多解
根据 $ 2x^{3} + ax^{2} + bx - 3 $ 中最高次项 $ 2x^{3} $，可设商式为 $ (2x + A) $，则 $ (2x + A)(x^{2} - x + 3) = 2x^{3} + (A - 2)x^{2} + (6 - A)x + 3A = 2x^{3} + ax^{2} + bx - 3 $，$ \therefore A = -1 $，$ \therefore a = -3 $，$ b = 7 $，$ \therefore $ 商式为 $ 2x - 1 $。