《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

1. 如图，点 C 为线段 AB 上一点，$\triangle ACM$，$\triangle CBN$是等边三角形，直线 AN，MC 交于点 E，直线 BM，CN 交于点 F。则以下结论：①$\triangle ACN\cong \triangle MCB$；②$EC = FC$；③$EF// AB$；④$AC = MF$。正确的有____①②③（填序号）。

答案： ①②③ 解析：①
∵△ACM 和△CBN 都是等边三角形，
∴AC = MC，CN = CB，∠ACM = ∠BCN = 60°，
∴∠MCN = 180° - ∠ACM - ∠BCN = 60°，
∴∠ACN = ∠ACM + ∠MCN = ∠MCN + ∠BCN = ∠BCM = 120°，
∴△ACN ≌ △MCB(SAS)，即①正确；
②
∵△ACN ≌ △MCB，
∴∠EAC = ∠FMC.
∵AC = MC，∠ACE = ∠MCF = 60°，
∴△AEC ≌ △MFC(ASA)，
∴EC = FC，即②正确；
③
∵EC = FC，∠ECF = 60°，
∴△ECF 是等边三角形，
∴∠CEF = ∠ACE = 60°，
∴EF // AB，即③正确；
④假设 AC = MF 正确，
∵∠MCN = 60°，即∠MCF = 60°，AC = CM = MF，
∴△MCF 是等边三角形，
∴MC = FC. 又
∵EC = FC，
∴MC = EC，即点 M 和点 E 重合，显然错误，故④错误. 故正确的有①②③

2. （2024·绍兴月考）（1）问题发现：如图①，$\triangle ABC$和$\triangle DCE$均为等边三角形，当$\triangle DCE$旋转至点 A，D，E 在同一直线上时，连接 BE。填空：①$∠AEB$的度数为____；②线段 AD，BE 之间的数量关系是____。
（2）拓展研究：
如图②，$\triangle ACB$和$\triangle DCE$均为等腰三角形，且$∠ACB = ∠DCE = 90^{\circ}$，点 A，D，E 在同一直线上，若$AE = 15$，$DE = 7$，求 BE 的长度及$∠AEB$的度数。
（3）探究发现：
图①中的$\triangle ACB$和$\triangle DCE$，在$\triangle DCE$旋转过程中，当点 A，D，E 不在同一直线上时，设直线 AD 与 BE 相交于点 O，试探索$∠AOE$的度数，直接写出结果，不必说明理由。

答案：

(1) ①60° 解析：
∵△ABC 和△DCE 均为等边三角形，
∴CA = CB，CD = CE，∠ACB = ∠DCE = 60°，
∴∠ACB - ∠BCD = ∠DCE - ∠BCD，即 ∠ACD = ∠BCE. 在 △ACD 和 △BCE 中，$\left\{\begin{array}{l} AC = BC, \\ ∠ACD = ∠BCE, \\ CD = CE, \end{array}\right.$
∴△ACD ≌ △BCE(SAS)，
∴AD = BE，∠ADC = ∠BEC.
∵△DCE 为等边三角形，
∴∠CDE = ∠CED = 60°.
∵点 A，D，E 在同一直线上，
∴∠ADC = 120°，
∴∠BEC = 120°，
∴∠AEB = ∠BEC - ∠CED = 60°.
②AD = BE
(2)
∵△ABC 和△DCE 均为等腰三角形，∠ACB = ∠DCE = 90°，
∴CA = CB，CD = CE，
∴∠ACB - ∠BCD = ∠DCE - ∠BCD，即 ∠ACD = ∠BCE. 在 △ACD 和 △BCE 中，$\left\{\begin{array}{l} AC = BC, \\ ∠ACD = ∠BCE, \\ CD = CE, \end{array}\right.$
∴△ACD ≌ △BCE(SAS)，
∴∠ADC = ∠BEC，AD = BE.
∵△DCE 为等腰直角三角形，
∴∠CDE = ∠CED = 45°.
∵点 A，D，E 在同一直线上，
∴∠ADC = 135°，
∴∠BEC = 135°，
∴∠AEB = ∠BEC - ∠CED = 90°.
∵AD = AE - DE = 15 - 7 = 8，
∴BE = 8.
(3) ∠AOE 的度数是 60°或 120°. 解析：如图①，由
(1)知，△ACD ≌ △BCE，
∴∠CAD = ∠CBE.
∵∠CAB = ∠CBA = 60°，
∴∠OAB + ∠OBA = 120°，
∴∠AOE = 180° - 120° = 60°.
　　
如图②，同理求得 ∠AOB = 60°，
∴∠AOE = 120°，
∴∠AOE 的度数是 60°或 120°.

3. 在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$∠ABC = \alpha$，点 D 是直线 BC 上一点，点 C 关于射线 AD 的对称点为点 E。作直线 BE 交射线 AD 于点 F。连接 CF。
（1）如图①，点 D 在线段 BC 上，求$∠AFB$的大小（用含$\alpha$的代数式表示）。
（2）如果$∠\alpha = 60^{\circ}$。
①如图②，当点 D 在线段 BC 上时，用等式表示线段 AF，BF，CF 之间的数量关系，并证明；
②如图③，当点 D 在线段 CB 的延长线上时，补全图形，直接写出线段 AF，BF，CF 之间的数量关系。

答案：

(1) 如图①，连接 AE，CE，
∵点 E 为点 C 关于射线 AD 的对称点，
∴AE = AC，EF = FC，∠EAD = ∠CAD，设 ∠EAD = ∠CAD = x，则 ∠CAE = 2x.
∵AB = AC，
∴∠ACB = ∠ABC = α，
∴∠BAE = 180° - 2x - 2α，
∴∠ABE + ∠AEB = 2x + 2α.
∵AE = AB，
∴∠ABE = ∠AEB = x + α，
∴∠AFB = ∠AEB - ∠EAD = α.

(2) ①AF = BF + CF. 证明：如图②，延长 FB 至点 G，使 FG = FA，连接 AG.
∵AB = AC，
∴∠ABC = α = 60°，
∴△ABC 为等边三角形，∠BAC = 60°，由
(1)知，∠AFB = α = 60°，
∴△AFG 为等边三角形，
∴AG = AF，∠GAF = 60°，
∴∠GAB = ∠FAC. 在 △ABG 和 △ACF 中，$\left\{\begin{array}{l} AG = AF, \\ ∠GAB = ∠FAC, \\ AB = AC, \end{array}\right.$
∴△ABG ≌ △ACF(SAS)，
∴BG = CF，
∴CF + BF = BG + BF = GF.
∵GF = AF，
∴AF = BF + CF.
②补全图形如图③所示. CF = AF + BF. 解析：如图③，连接 AE，
∵点 E 为点 C 关于 AD 的对称点，
∴AE = AC，EF = FC，∠EAD = ∠CAD，设 ∠EAD = ∠CAD = x，则 ∠CAE = 2x.
∵AB = AC = AE，
∴∠ACB = ∠ABC = ∠BAC = 60°，
∴∠DAB = x - 60°，
∴∠EAB = x + x - 60° = 2x - 60°.
∵AE = AB，
∴∠ABE = ∠AEB = $\frac{180° - 2x + 60°}{2}$ = 120° - x，
∴∠AFE = ∠DAB + ∠ABE = x - 60° + 120° - x = 60°. 在 BE 上取点 G，使得 FG = FA，连接 AG，
∴△AFG 为等边三角形，
∴AG = AF，∠GAF = 60°，
∴∠GAE = ∠FAB = x - 60°. 在 △AGE 和 △AFB 中，$\left\{\begin{array}{l} AG = AF, \\ ∠GAE = ∠FAB, \\ AE = AB, \end{array}\right.$
∴△AGE ≌ △AFB(SAS)，
∴BF = EG，
∴EF = EG + FG = BF + AF，
∴CF = EF = BF + AF.