《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

7. (2024·恩施期中)如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于点E,BF交AC于点F,过点O作OD⊥BC于点D,下列三个结论:①∠AOB=90°+$\frac{1}{2}$∠C;②当∠C=60°时,AF+BE=AB;③若OD=a,AB+BC+CA=2b,则S△ABC=ab.其中正确的是(C)

A. ①②
B. ②③
C. ①②③
D. ①③

答案： 7.C　解析:
∵∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,
∴∠OBA=$\frac{1}{2}$∠CBA,∠OAB=$\frac{1}{2}$∠CAB,
∴∠AOB=180°−∠OBA−∠OAB=180°−$\frac{1}{2}$∠CBA−$\frac{1}{2}$∠CAB=180°−$\frac{1}{2}$(180°−∠C)=90°+$\frac{1}{2}$∠C,故①正确;
∵∠C=60°,
∴∠BAC+∠ABC=120°.
∵AE,BF分别是∠BAC和∠ABC的平分线,
∴∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ABC)=60°,
∴∠AOB=120°,
∴∠AOF=60°,
∴∠BOE=60°,在AB上取一点H,使BH=BE.
∵BF是∠ABC的平分线,
∴∠HBO=∠EBO.在△HBO和△EBO中，$\begin{cases}BH = BE, \\ ∠HBO = ∠EBO, \\ BO = BO,\end{cases}$
∴△HBO≌△EBO(SAS)，
∴∠BOH = ∠BOE = 60°，
∴∠AOH = 180° - ∠BOH = 120°，
∴∠AOH = ∠AOF = 60°。在△HAO和△FAO中，$\begin{cases}∠HAO = ∠FAO, \\ AO = AO, \\ ∠AOH = ∠AOF,\end{cases}$
∴△HAO≌△FAO(ASA)，
∴AF = AH，
∴AB = BH + AH = BE + AF，故②正确;过点O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴ON = OM = OD = a。
∵AB + BC + CA = 2b，
∴$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot OM + \frac{1}{2}AC \cdot ON + \frac{1}{2}BC \cdot OD = \frac{1}{2}(AB + AC + BC) \cdot a = ab$，故③正确。综上，①②③正确，故选C.

8. (2024·德阳期末)如图,在∠AOB的边OA,OB上取点M,N,连接MN,MP平分∠AMN,NP平分∠MNB,若MN=2,△PMN的面积是2,△OMN的面积是8,则△OMN的周长是______.

答案：
8.12　解析:如图,过点P作PH⊥MN于点H，PK⊥OB于点K，PL⊥AO于点L，连接PO，
∵MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，
∴PL = PH，PK = PH，
∴PL = PK。
∵MN = 2，△PMN的面积 = $\frac{1}{2}MN \cdot PH = 2$，
∴PH = 2，
∴PK = PL = 2。
∵△POM的面积 = $\frac{1}{2}OM \cdot PL$，△PON的面积 = $\frac{1}{2}ON \cdot PK$，
∴△OMN的面积 + △PMN的面积 = △POM的面积 + △PON的面积 = $\frac{1}{2}OM \cdot PL + \frac{1}{2}ON \cdot PK = \frac{1}{2}(OM + ON) \cdot PK = 8 + 2$，
∴$\frac{1}{2}(OM + ON) \times 2 = 10$，
∴OM + ON = 10，
∴△OMN的周长 = OM + ON + MN = 10 + 2 = 12。

9. (2024·广州期中)在平面直角坐标系xOy中,对于任意点T(m,n),将点T的“元变化”定义为:当|m|＞|n|时,作点T关于x轴对称的点;当|m|≤|n|时,作点T关于y轴对称的点.根据定义,解决问题:

如图,点P(3,2),点Q(-2,b),其中b＜-2,点P,Q“元变化”后的对应点是点P',Q'.
(1)直接写出坐标:P'______,Q'______(Q'用含b的式子表示);
(2)若PQ'=P'Q,则b的值为______.

答案：
9.
(1)(3, -2) (2, b) 解析：对于点P(3, 2)，可知|3| ＞ |2|，
∴点P'的坐标为(3, -2)。对于点Q(-2, b)，其中b ＜ -2，则|-2| ＜ |b|，
∴点Q'的坐标为(2, b)。
(2) -3 解析：点P(3, 2)，点Q(-2, b)，Q'(2, b)，P'(3, -2)，连接P'Q'，延长PP'，QQ'交于点H，如图，

∴H(3, b)，PP' = 4，QQ' = 4，
∴PP' = QQ'。而PQ' = P'Q，P'Q' = Q'P'，
∴△PP'Q' ≌ △QQ'P'(SSS)，
∴∠1 = ∠2。
∵∠H = ∠H = 90°，
∴△PHQ' ≌ △QHP'(AAS)，
∴Q'H = P'H，
∴3 - 2 = -2 - b，解得b = -3。

10. (2024·济宁期中)如图,△ABC中,∠ABC的平分线BD和AC边的垂直平分线DE交于点D,DM⊥BA的延长线于点M,DN⊥BC于点N.若AB=3,BC=7,则AM的长为( )

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案：
10.B　解析:连接AD，CD

∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD = ∠DBC。
∵DM⊥BA，DN⊥BC，
∴∠DMB = ∠DNB = 90°。在△BDM和△BDN中，$\begin{cases}∠DMB = ∠DNB, \\ ∠ABD = ∠DBC, \\ BD = BD,\end{cases}$
∴△BDM ≌ △BDN(AAS)，
∴BM = BN，DM = DN。
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD = DC。在Rt△ADM和Rt△CDN中，$\begin{cases}AD = CD, \\ DM = DN,\end{cases}$
∴Rt△ADM ≌ Rt△CDN(HL)，
∴AM = CN。
∵AB = 3，BC = 7，
∴BC - AB = BN + CN - (BM - AM) = CN + AM = 2AM = 4，
∴AM = 2。