《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

4. 如图,在锐角$△ABC$中,AF 是 BC 边上的高,分别以 AB,AC 为一边,向外作等腰$Rt△ABD$和等腰$Rt△ACE$,其中$∠BAD=∠CAE=90^{\circ }$,连接 BE,DE,DC,DE 与 FA 的延长线交于点 G,下列5个结论:①$BE=DC$;②$BE⊥DC$;③$AE=EG$;④$∠DAG=∠ABC$;⑤$S_{△ABC}=S_{△ADE}$.其中正确的有( )

A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个

答案：
B 解析: ①
∵△ABD,△ACE为等腰直角三角形,
∴AD = AB,AE = AC.
∵∠BAD = ∠CAE = 90°,
∴∠BAD + ∠BAC = ∠CAE + ∠BAC,即∠DAC = ∠BAE.在△ACD和△AEB中, $\left\{\begin{array}{l} AD = AB, \\ ∠DAC = ∠BAE, \\ AC = AE, \end{array}\right.$
∴△ACD≌△AEB(SAS),
∴BE = DC,故①正确; ②设BE与CD交于点Q.
∵△ACD≌△AEB,
∴∠CDA = ∠EBA.
∵∠CDA + ∠BDC + ∠DBA = 90°,
∴∠EBA + ∠BDC + ∠DBA = 90°,
∴∠DQB = 90°,
∴BE⊥DC,故②正确; ③无法证得; ④
∵∠DAB = 90°,
∴∠DAG + ∠BAF = 90°.
∵AF是BC边上的高,
∴∠ABC + ∠BAF = 90°,
∴∠DAG = ∠ABC,故④正确; ⑤如图,过D作DM⊥FA,交FA的延长线于M,过E作EN⊥FA,交FA的延长线于N,易证△DAM≌△ABF,△CAF≌△AEN,△DMG≌△ENG.
∵$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABF} + S_{\triangle ACF}$,$S_{\triangle ADE} = S_{\triangle ADG} + S_{\triangle AEG} = S_{\triangle ADG} + S_{\triangle DMG} + S_{\triangle AEN} = S_{\triangle ADM} + S_{\triangle AEN}$,
∴$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADE}$.综上,正确的有①②④⑤.故选B.
　　　

5. 如图,$AC=AE,AD=AB,∠ACB=∠DAB=90^{\circ },AE// CB,AC,DE$交于点 F.
(1)求证:$∠DAC=∠B;$
(2)猜想线段 AF,BC 的数量关系并证明.

答案：

(1)
∵∠ACB = ∠DAB = 90°,AE//BC,
∴∠CAE = 180° - ∠ACB = 90°,∠B = ∠BAE,
∴∠DAC = 90° - ∠BAC = ∠BAE,
∴∠DAC = ∠B.
(2) BC = 2AF.证明如下: 如图所示,作DG⊥AC的延长线于点G,
∵AG⊥DG,
∴∠AGD = ∠ACB = 90°.在△AGD和△BCA中, $\left\{\begin{array}{l} ∠AGD = ∠BCA, \\ ∠DAG = ∠B, \\ AD = BA, \end{array}\right.$
∴△AGD≌△BCA(AAS),
∴DG = AC,AG = BC.在△AEF和△GDF中, $\left\{\begin{array}{l} ∠EFA = ∠DFG, \\ ∠EAF = ∠DGF, \\ EA = DG, \end{array}\right.$
∴△AEF≌△GDF (AAS),
∴AF = GF = $\frac{1}{2}$AG = $\frac{1}{2}$BC,
∴BC = 2AF.
　　　

6. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠BAC=90^{\circ },AB=AC$,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,$AD=AE$,连接 DC,BE,点 P 为 DC 的中点.
(1)观察图①,猜想线段 AP 与 BE 的数量关系是____,位置关系是____.
(2)把$△ADE$绕点 A 逆时针方向旋转到图②的位置,(1)中的结论是否仍然成立? 若成立,请证明;若不成立,请写出新的结论并说明理由.
(3)把$△ADE$绕点 A 在平面内自由旋转,若$AD=3,AC=5$,请直接写出线段 AP 长的取值范围.

答案：

(1) AP = $\frac{1}{2}$BE,AP⊥BE
(2) 成立.证明如下: 如图,延长PA交BE于N,延长AP到M使PM = AP,连接CM,∠DPA = ∠CPM.
∵点P为DC的中点,
∴DP = PC,则△ADP≌△MCP,
∴AD = CM = AE,∠DAP = ∠M,
∴AD//CM,∠DAC + ∠ACM = 180°.又
∵∠BAC = ∠DAE = 90°,
∴∠DAC + ∠BAE = 180°,
∴∠ACM = ∠BAE.又
∵AB = AC,
∴△BAE≌△ACM,
∴∠M = ∠AEB = ∠DAP,BE = AM.
∵AP = $\frac{1}{2}$AM,
∴AP = $\frac{1}{2}$BE.又
∵∠EAN + ∠DAP = 90°,
∴∠EAN + ∠AEB = 90°,
∴∠ENA = 90°,即AP⊥BE.
(3) 1 ≤ AP ≤ 4. 解析:
∵△AED,△ABC都是等腰直角三角形,
∴AD = AE = 3,AC = AB = 5,又由
(2)知,CM = AD = 3,
∴5 - 3 ≤ AM ≤ 5 + 3,即2 ≤ AM ≤ 8.
∵AP = $\frac{1}{2}$AM,
∴1 ≤ AP ≤ 4.