《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

1. (2024·张掖月考)如图,小正方形 ABCD 和大正方形 CEFG 相邻,B,C,G 三点在同一条直线上,C,D,E 三点在同一条直线上.连接 AE,DG,EG,若阴影部分的面积为 9,则大正方形的面积与小正方形的面积之差为 (D)

A. 20
B. 22
C. 16
D. 18

答案： D解析:设小正方形的边长为a,大正方形的边长为b,则CD=a,CE=b,
∴DE=b−a.
∵阴影部分的面积为9,
∴$\frac{1}{2}$AD×DE+$\frac{1}{2}$CG×DE=9,$\frac{1}{2}$a(b−a)+$\frac{1}{2}$b(b−a)=9,
∴b²−a²=18,即大正方形的面积与小正方形的面积之差为18.故选D.

2. 如图,六边形 ABCDEF 是一个轴对称图形,请将该图形沿对称轴剪开,将得到的两个全等图形拼成一个新的轴对称图形(两个全等图形不重叠).
(1)请画出新的轴对称图形;
(2)设六边形 ABCDEF 的面积为 $ S_1 $,新的轴对称图形的面积为 $ S_2 $,判断 $ S_1,S_2 $ 的大小关系,并直接用含 a,b 的式子表示出 $ S_1 $ 和 $ S_2 $;
(3)计算: $ 67.75^2 - 32.25^2 $.

答案：

(1)新的轴对称图形如图所示.(答案不唯一)
　　　　　　　
(2)由题意可知S₁=a²−b²,S₂=$\frac{1}{2}$(2a+2b)(a−b)=(a+b)(a−b).
∵(a+b)(a−b)=a²−b²,
∴S₁=S₂.
(3)67.75²−32.25²=(67.75+32.25)×(67.75−32.25)=100×35.5=3550.

3. (2025·荆州期末)如图①是一个长为 2m、宽为 2n 的长方形($ m ＞ n $),沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形,然后按图②形状拼成一个正方形.
(1)观察图②,直接写出代数式 $ (m + n)^2,(m - n)^2,mn $ 之间的数量关系:(m+n)²=(m−n)²+4mn.
(2)利用(1)的结论和公式变形,尝试解决以下问题:
①已知 $ x + y = 7,xy = 6 $,则 $ x - y $ 的值为±5;
②已知 $ (2024 - x)(x - 2025) = -6 $,求 $ (2024 - x)^2 + (x - 2025)^2 $ 的值.
(3)正方形 ABCD 和 AEFG 如图③摆放.边长分别为 x,y,若 $ x^2 + y^2 = 34,BE = 2 $,求图中阴影部分面积的和.
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答案：
(1)(m+n)²=(m−n)²+4mn　解析:依题意,大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积,则(m+n)²=(m−n)²+4mn.
(2)①±5解析:与
(1)同理得(x+y)²=(x−y)²+4xy,
∵x+y=7,xy=6,
∴49=(x−y)²+4×6,
∴(x−y)²=25,
∴x−y=±5.
　②
∵(2024−x)(x−2025)=−6,
∴(2024−x)²+(x−2025)²=[(2024−x)+(x−2025)]²−2(2024−x)(x−2025)=(−1)²−2×(−6)=1+12=13.
(3)
∵BE=2,
∴x−y=2,由题图可知△CDF的底为x,高为2,
∴S△CDF=$\frac{1}{2}$x×2=x,△BEF的底为2,高为y,
∴S△BEF=$\frac{1}{2}$×2y=y,
∴S阴影=S△CDF+S△BEF=x+y.
∵(x−y)²+2xy=x²+y²,即2²+2xy=34,
∴xy=15,
∴(x+y)²=x²+y²+2xy=34+2×15=64,
∴x+y=8(舍去负值),
∴阴影部分面积的和为8.