《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

9. 如图,$ △ABC $中,点D在AB上,点E在BC上,DE为AB的垂直平分线.若$ ∠B = ∠C $,且$ ∠EAC ＞ 90^{\circ} $,则根据图中标示的角,下列说法正确的是(B)

A. $ ∠1 = ∠2 $,$ ∠1 ＜ ∠3 $
B. $ ∠1 = ∠2 $,$ ∠1 ＞ ∠3 $
C. $ ∠1 ≠ ∠2 $,$ ∠1 ＜ ∠3 $
D. $ ∠1 ≠ ∠2 $,$ ∠1 ＞ ∠3 $

答案： B 解析: $\because DE$为AB的垂直平分线, $\therefore \angle BDE=\angle ADE=90^{\circ}$, $BE=AE$, 易得$\triangle ADE\cong \triangle BDE$, $\therefore \angle B=\angle BAE$, $\angle 1=\angle 2$. $\because \angle EAC＞90^{\circ}$, $\therefore \angle 3+\angle C＜90^{\circ}$. $\because \angle B+\angle 1=90^{\circ}$, $\angle B=\angle C$, $\therefore \angle 1＞\angle 3$, $\therefore \angle 1=\angle 2$, $\angle 1＞\angle 3$.

10. 改编题 如图,点P是$ ∠AOB $外的一点,分别作点P关于边OA,OB的对称点Q,R.直线QR分别与OA,OB交于点M,N.
(1)若$ PM = 3 cm $,$ PN = 4 cm $,$ MN = 4.5 cm $,则线段QR的长为____5.5cm;
(2)若$ ∠QMO = 40^{\circ} $,$ ∠RNO = 70^{\circ} $,则$ ∠QPR $的度数是____30°.

答案：
(1)5.5cm 解析: $\because$点P,Q关于直线OA对称,点P,R关于直线OB对称，$\therefore OA,OB$分别是PQ,PR的垂直平分线, $\therefore QM=PM=3cm$, $RN=PN=4cm$. $\because MN=4.5cm$, $\therefore QN=MN−MQ=1.5cm$, $\therefore QR=RN+QN=5.5cm$.
(2)$30^{\circ}$ 解析:由题意得$MP=MQ$, $NP=NR$, 根据轴对称和全等可得$\angle PMO=\angle RMO=40^{\circ}$, $\angle RNO=\angle ONP=70^{\circ}$, $\therefore \angle PMQ=80^{\circ}$, $\angle MPQ=\angle MQP=50^{\circ}$, $\angle NPR=\angle NRP=20^{\circ}$, $\therefore \angle MPR=180^{\circ}-\angle NRP-\angle RMP=80^{\circ}$, $\therefore \angle QPR=\angle MPR-\angle MPQ=30^{\circ}$.

11. (1)在$ △ABC $中,$ AB = AC $,$ OB = OC $,且点A到BC的距离为8,点O到BC的距离为3,则AO的长为____.
(2)在$ △ABC $中,$ BC = 10 $,AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,且$ DE = 4 $,则$ AD + AE $为____.

答案：

(1)5或11 解析:如图①,当点O在$\triangle ABC$内时, $\because AB=AC$, $OB=OC$, $\therefore AM$为BC的垂直平分线, $\therefore AM\perp BC$, $\therefore AO=AM−OM=5$; 如图②,当点O在$\triangle ABC$外时, $AO=AM+OM=11$.


(2)6或14 解析: $\because AB$, AC的垂直平分线分别交BC于点D,E, $\therefore AD=BD$, $AE=CE$, $\therefore AD+AE=BD+CE$. $\because BC=10$, $DE=4$, $\therefore$如图①, $AD+AE=BD+CE=BC-DE=6$; 如图②, $AD+AE=BD+CE=BC+DE=14$.

12. (2025·广州期末)如图,电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔.按照设计要求,发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条高速公路OM和ON的距离也必须相等.发射塔应修建在什么位置? 在图上标出它的位置P,并简要写出作法及作图依据.

答案：
如图,点P即为所求.
作法:连接AB,作线段AB的垂直平分线交$\angle MON$的平分线于点P,点P即为所求.依据:角平分线上的点到角的两边距离相等,线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

13. 辨析题:
在$ △ABC $中,已知$ AB ＞ AC $,求证:$ AB = AC $.
证明:如图,作$ ∠BAC $的平分线与边BC的垂直平分线OM交于点O,则$ OB = OC $,再作OE垂直AB于点E,OF垂直AC于点F,则$ OE = OF $,$ ∴ Rt△BOE ≌ Rt△COF $,$ ∴ BE = CF $. ①
在$ Rt△AOE $和$ Rt△AOF $中,$ OE = OF $,$ AO = AO $,$ ∴ Rt△AOE ≌ Rt△AOF $,$ ∴ AE = AF $. ②
由①②得$ AB = AC $.

(1)上述画图与证明过程中,哪里出错了呢?这说明我们今后在解题时又要注意什么呢?
答:图形出现错误，解题时应注意画图的准确性。正确的图形如图所示。
(2)在$ △ABC $中,$ AB ＞ AC $,$ ∠BAC $的平分线与边BC的垂直平分线相交于点O,OE垂直AB于点E,那么三条线段AB,AC,BE之间有何等量关系? 请你写出来并加以证明.
答:三条线段AB,AC,BE的等量关系为$AB=AC+2BE$，证明如下: $\because AO$为$\angle BAC$的平分线, $OE\perp AB$, $OF\perp AF$, $\therefore OE=OF$. 在$Rt\triangle AOE$和$Rt\triangle AOF$中, $\left\{\begin{array}{l} OA=OA,\\ OE=OF,\end{array}\right. \therefore Rt\triangle AOE\cong Rt\triangle AOF(HL)$, $\therefore AE=AF$. 又OM为BC的垂直平分线, $\therefore OB=OC$. 在$Rt\triangle OEB$和$Rt\triangle OFC$中, $\left\{\begin{array}{l} OB=OC,\\ OE=OF,\end{array}\right. \therefore Rt\triangle OEB\cong Rt\triangle OFC(HL)$, $\therefore BE=CF$, 则$AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE$.

答案：
(1)图形出现错误,解题时应注意画图的准确性.正确的图形如图所示.
(2)三条线段AB,AC,BE的等量关系为$AB=AC+2BE$, 证明如下: $\because AO$为$\angle BAC$的平分线, $OE\perp AB$, $OF\perp AF$, $\therefore OE=OF$. 在$Rt\triangle AOE$和$Rt\triangle AOF$中, $\left\{\begin{array}{l} OA=OA,\\ OE=OF,\end{array}\right. \therefore Rt\triangle AOE\cong Rt\triangle AOF(HL)$, $\therefore AE=AF$. 又OM为BC的垂直平分线, $\therefore OB=OC$. 在$Rt\triangle OEB$和$Rt\triangle OFC$中, $\left\{\begin{array}{l} OB=OC,\\ OE=OF,\end{array}\right. \therefore Rt\triangle OEB\cong Rt\triangle OFC(HL)$, $\therefore BE=CF$, 则$AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE$.