《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

10. 如图所示的运算程序中,甲输入的$x$为$3a + 2b$,乙输入的$x$为$-3a - 2b$,丙输入的$x$为$2b - 3a$.若$a ＞ b ＞ 0$,则输出结果相同的是 (B)

A. 甲和乙
B. 甲和丙
C. 乙和丙
D. 三人均不相同

答案： B 解析：$\because a ＞ b ＞ 0$，$\therefore 3a + 2b ＞ 0$，$-3a - 2b ＜ 0$，$2b - 3a ＜ 0$，$\therefore$甲输出的结果为$y = 2a(3a + 2b)-2ab = 6a^{2}+2ab$；乙输出的结果为$y = -2a(-3a - 2b)+6ab = 6a^{2}+10ab$；丙输出的结果为$y = -2a(2b - 3a)+6ab = 6a^{2}+2ab$，输出结果相同的是甲和丙，故选B。

11. 解方程:
(1)方程$2x(3x - 5)+3x(1 - 2x)=14$的解是$x = -2$;
(2)方程$\left(\frac{1}{3}\right)^{x}(27^{x}-3^{x})=80$的解是$x = 2$.

答案：
(1)$x = -2$
(2)$x = 2$

12. 用"☆"定义新运算:对于任意实数$a,b$,都有$a☆b = b^{2}+1$,例如:$7☆4 = 4^{2}+1 = 17$,那么$99☆3+3=$13;当$m$为实数时,$m☆(m☆2)-(2☆m)=$$25 - m^{2}$.

答案： 13 $25 - m^{2}$ 解析：当$m$为实数时，$m☆(m☆2)-(2☆m)=m☆(2^{2}+1)-(m^{2}+1)=m☆5 - m^{2}-1 = 25 - m^{2}$。

13. 当$m,n$为何值时,$\frac{1}{2}x[x(x + m)+nx(x + 1)+m]$的展开式中不含$x^{2}$和$x^{3}$项?

答案： 原式$=\frac{1}{2}x(x^{2}+mx + nx^{2}+nx + m)=\frac{1}{2}(1 + n)x^{3}+\frac{1}{2}(m + n)x^{2}+\frac{1}{2}mx$。
根据展开式中不含$x^{2}$和$x^{3}$项，得到$\begin{cases}1 + n = 0,\\m + n = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 1,\\n = -1.\end{cases}$

14. (1)已知$a(x^{2}+x - c)+b(2x^{2}-x - 2)=x(7x + 4)+3$,求$a(b + c)$的值;0
(2)已知等式$x(ax^{3}+x^{2}+b)+3x - 2c = x^{3}+5x + 4$恒成立,求$a^{2}+3b + 2c$的值.2

答案：
(1)$\because a(x^{2}+x - c)+b(2x^{2}-x - 2)=x(7x + 4)+3 = 7x^{2}+4x + 3$，
$\therefore (a + 2b)x^{2}+(a - b)x-(ac + 2b)=7x^{2}+4x + 3$，$\therefore a + 2b = 7$，$a - b = 4$，$-(ac + 2b)=3$，解得$a = 5$，$b = 1$，$c = -1$，$\therefore a(b + c)=0$。
(2)$\because x(ax^{3}+x^{2}+b)+3x - 2c = x^{3}+5x + 4$，$\therefore ax^{4}+x^{3}+(b + 3)x - 2c = x^{3}+5x + 4$，$\therefore\begin{cases}a = 0,\\b + 3 = 5,\\-2c = 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 0,\\b = 2,\\c = -2,\end{cases}$ $\therefore a^{2}+3b + 2c = 0^{2}+3×2 + 2×(-2)=2$。

15. (2024·南京期末改编)在长方形$ABCD$中将边长分别为$a$和$b$的两张正方形纸片$(a ＞ b)$按图①和图②两种方式放置(两张正方形纸片均有部分重叠),长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图①、图②中阴影部分的面积分别为$S_{1},S_{2}$.当$AD=\frac{3}{2}AB$时,$S_{2}-S_{1}$的值为 (B)

A. $am$
B. $bm$
C. $3am$
D. $3bm$

答案： B 解析：$\because AD=\frac{3}{2}AB$，设$AB = 2m$，则$AD = 3m$，$\therefore S_{1}=S_{长方形ABCD}-S_{图①覆盖}=2m\cdot 3m - a^{2}-b(3m - a)=6m^{2}-a^{2}-3bm + ab$，$S_{2}=S_{长方形ABCD}-S_{图②覆盖}=2m\cdot 3m - a^{2}-b(2m - a)=6m^{2}-a^{2}-2bm + ab$，$\therefore S_{2}-S_{1}=6m^{2}-a^{2}-2bm + ab-(6m^{2}-a^{2}-3bm + ab)=bm$。故选B。

16. 先阅读下面的材料,再解答问题:
已知$x^{2}y = 3$,求$2xy(x^{5}y^{2}-3x^{3}y - 4x)$的值.
分析:由$x^{2}y = 3$无法求出$x,y$的值,故考虑用整体思想,将$x^{2}y = 3$整体代入.
解:$2xy(x^{5}y^{2}-3x^{3}y - 4x)=2x^{6}y^{3}-6x^{4}y^{2}-8x^{2}y$
$=2(x^{2}y)^{3}-6(x^{2}y)^{2}-8x^{2}y$
$=2×3^{3}-6×3^{2}-8×3$
$=-24$.
问题:(1)已知$ab = 3$,求$(2a^{3}b^{2}-3a^{2}b + 4a)\cdot(-2b)$的值;
(2)已知$ab^{2}=6$,求$ab(a^{2}b^{5}-ab^{3}-b)$的值.
(1) -78
(2) 174

答案：
(1) 当$ab = 3$时，$(2a^{3}b^{2}-3a^{2}b + 4a)\cdot(-2b)=2a^{3}b^{2}\cdot(-2b)+3a^{2}b\cdot 2b - 4a\cdot 2b=-4a^{3}b^{3}+6a^{2}b^{2}-8ab=-4(ab)^{3}+6(ab)^{2}-8ab=-4×3^{3}+6×3^{2}-8×3=-78$。
(2) 当$ab^{2}=6$时，$ab(a^{2}b^{5}-ab^{3}-b)=(ab^{2})^{3}-(ab^{2})^{2}-ab^{2}=6^{3}-6^{2}-6 = 174$。