《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

1. (2025·泉州期末)定义:如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差,那么称这个正整数为“登高数”，例如：$8=3^{2}-1^{2},16=5^{2}-3^{2},24=7^{2}-5^{2}$,因此 8,16,24 都是“登高数”.
(1)特例感知:判断 40 是否为“登高数”，说明理由.
40 是“登高数”，理由：设 $ 40=(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2} $，解得 $ n=5 $，$ \therefore 40=11^{2}-9^{2} $，$ \therefore 40 $ 是“登高数”。
(2)规律探究:根据“登高数”的定义,设两个连续正奇数为$2k-1$和$2k+1$,其中k是正整数,那么“登高数”都能被8整除吗？如果能,说明理由;如果不能,举例说明.
“登高数”都能被 8 整除，理由：$ \because (2k+1)^{2}-(2k-1)^{2}=[(2k+1)+(2k-1)][(2k+1)-(2k-1)]=(2k+1+2k-1)(2k+1-2k+1)=4k×2=8k $。$ \because k $ 是正整数，$ \therefore 8k $ 能被 8 整除，$ \therefore (2k+1)^{2}-(2k-1)^{2} $ 能被 8 整除，$ \therefore $ “登高数”都能被 8 整除。
(3)拓展应用:求不超过 2 000 的所有“登高数”的和.
251000

答案：
(1) 40 是“登高数”，理由：设 $ 40=(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2} $，解得 $ n=5 $，$ \therefore 40=11^{2}-9^{2} $，$ \therefore 40 $ 是“登高数”。
(2) “登高数”都能被 8 整除，理由：$ \because (2k+1)^{2}-(2k-1)^{2}=[(2k+1)+(2k-1)][(2k+1)-(2k-1)]=(2k+1+2k-1)(2k+1-2k+1)=4k×2=8k $。$ \because k $ 是正整数，$ \therefore 8k $ 能被 8 整除，$ \therefore (2k+1)^{2}-(2k-1)^{2} $ 能被 8 整除，$ \therefore $ “登高数”都能被 8 整除。
(3) 由
(2)，可知“登高数”都能被 8 整除，$ \because 2000=250×8 $，$ \therefore $ 不超过 2000 的所有“登高数”有 8，16，24，…，1992，2000，$ \therefore 8+16+24+…+1992+2000=8×1+8×2+8×3+…+8×249+8×250=8×(1+2+3+…+249+250)=8×\frac{1+250}{2}×250=251000 $。

2. 改编题 对于形如$ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f$的关于x,y的二元二次多项式可以用“双十字相乘法”来分解,如图①,将a分解成m,n的乘积作为第1列,c分解成p,q的乘积作为第2列,f分解成j,k的乘积作为第3列,如果$mq+np=b,pk+qj=e,mk+nj=d$,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规则,则原式$=(mx+py+j)(nx+qy+k).$

例:分解因式:$x^{2}+2xy-3y^{2}+3x+y+2.$
解:如图②,其中$1=1×1,-3=(-1)×3,2=1×2$,而$2=1×3+1×(-1),1=(-1)×2+3×1,3=1×2+1×1,\therefore x^{2}+2xy-3y^{2}+3x+y+2=(x-y+1)(x+3y+2).$
请你阅读上述材料并完成下列问题:
(1)分解因式:
①$3x^{2}+5xy-2y^{2}+x+9y-4=$$(x+2y-1)(3x-y+4)$;
②$x^{2}-6xy+8y^{2}-5x+14y+6=$$(x-2y-2)(x-4y-3)$.
(2)若关于x,y的二元二次式$x^{2}+7xy-18y^{2}-5x+my-24$可以分解成两个一次因式的积,求m的值.
(3)已知x,y为整数,且满足$x^{2}+3xy+2y^{2}+2x+4y=-1$,求x,y的值.

答案：
(1) ① $ (x+2y-1)(3x-y+4) $ ② $ (x-2y-2)(x-4y-3) $
(2) $ \because $ 关于 $ x $，$ y $ 的二元二次式 $ x^{2}+7xy-18y^{2}-5x+my-24 $ 可以分解成两个一次因式的积，$ \therefore $ 存在 $ 1×1=1 $，$ 9×(-2)=-18 $，$ (-8)×3=-24 $。而 $ 7=1×(-2)+1×9 $，$ -5=1×(-8)+1×3 $，$ \therefore m=27+16=43 $ 或 $ m=-72-6=-78 $，故 $ m $ 的值为 43 或 -78。
(3) $ \because x^{2}+3xy+2y^{2}+2x+4y=(x+2y)(x+y)+2(x+2y)=(x+2y)(x+y+2)=-1=1×(-1) $，且 $ x $，$ y $ 为整数，$ \therefore $ 有 $ \begin{cases}x+2y=1,\\x+y+2=-1\end{cases} $ 或 $ \begin{cases}x+2y=-1,\\x+y+2=1,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x=-7,\\y=4\end{cases} $ 或 $ \begin{cases}x=-1,\\y=0\end{cases} $。