《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

12. (河北中考)平面内,将长分别为 1,5,1,1,d 的线段,顺次首尾相接组成凸五边形(如图),则 d 可能是 (C)

A. 1
B. 2
C. 7
D. 8

答案： C　解析:
∵平面内,将长分别为1,5,1,1,d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形,
∴1+d+1+1＞5且1+5+1+1＞d,
∴d的取值范围为2＜d＜8,则d可能是7.故选C.

13. (1)已知等腰三角形三边的长分别是 4x - 2,x + 1,15 - 6x,则它的周长是____12.3.
(2) 原创题 用一根 13 m 长的绳子围成一个三角形,使得三角形的三边的长均为整数,则符合条件的三角形有____5个.

答案：
(1)12.3　解析:①若4x−2=x+1,则x=1,三边长分别为2,2,9,但2+2＜9,不能组成三角形,舍去;②若4x−2=15−6x,则x=1.7,三边长分别为4.8,2.7,4.8,
∴其周长为12.3;③若15−6x=x+1,则x=2,三边长分别为6,3,3,但3+3=6,不能组成三角形,舍去.
∴周长是12.3.
(2)5　解析:设三角形的三边长为a,b,c,a≤b≤c,由题意得a+b+c=13,
∴a+b=13−c＞c,
∴c＜$\frac{13}{2}$.又
∵a≤b≤c,
∴$\frac{13}{3}$≤c＜$\frac{13}{2}$.
∵c为整数,
∴c可以为5或6,
∴三边可能的取值为3,5,5;4,4,5;1,6,6;2,5,6;3,4,6.
∴符合条件的三角形共有5个.

14. 如图,在四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O.求证:AB + BC + CD + DA ＞ AC + BD ＞ $\frac{1}{2}$(AB + BC + CD + DA).

在△ABD中,AB+AD＞BD,在△ABC中,AB+BC＞AC,在△BCD中,BC+CD＞BD,在△ACD中,AD+CD＞AC,∴AB+AD+AB+BC+BC+CD+AD+CD＞BD+AC+BD+AC,∴AB+BC+CD+DA＞AC+BD.在△OAB中,OA+OB＞AB,在△OAD中,OA+OD＞AD,在△ODC中,OD+OC＞CD,在△OBC中,OB+OC＞BC,∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA,即2(AC+BD)＞AB+BC+CD+DA,即AC+BD＞$\frac{1}{2}$(AB+BC+CD+DA).∴AB+BC+CD+DA＞AC+BD＞$\frac{1}{2}$(AB+BC+CD+DA).

答案： 在△ABD中,AB+AD＞BD,在△ABC中,AB+BC＞AC,在△BCD中,BC+CD＞BD,在△ACD中,AD+CD＞AC,
∴AB+AD+AB+BC+BC+CD+AD+CD＞BD+AC+BD+AC,
∴AB+BC+CD+DA＞AC+BD.在△OAB中,OA+OB＞AB,在△OAD中,OA+OD＞AD,在△ODC中,OD+OC＞CD,在△OBC中,OB+OC＞BC,
∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA,即2(AC+BD)＞AB+BC+CD+DA,即AC+BD＞$\frac{1}{2}$(AB+BC+CD+DA).
∴AB+BC+CD+DA＞AC+BD＞$\frac{1}{2}$(AB+BC+CD+DA).

15. (2024·北京期中)若三边均不相等的三角形三边 a,b,c 满足 a - b ＞ b - c(a 为最长边,c 为最短边),则称它为“不均衡三角形”.已知某“不均衡三角形”三边分别为 2x + 2,16,2x - 6,则 x 的整数值为____10或12或13或14.

答案： 10或12或13或14　解析:①16−(2x+2)＞2x+2−(2x−6),解得x＜3.
∵2x−6＞0,解得x＞3,故不合题意,舍去.②2x+2＞16＞2x−6,解得7＜x＜11,2x+2−16＞16−(2x−6),解得x＞9,
∴9＜x＜11.
∵x为整数,
∴x=10,此时22,16,14可构成三角形.③2x−6＞16,解得x＞11,2x+2−(2x−6)＞2x−6−16,解得x＜15,
∴11＜x＜15.
∵x为整数,
∴x=12或13或14,此时都可以构成三角形.综上所述,x的整数值为10或12或13或14.

16. 观察与探究:(1)如图①,△ABC 中,P 为边 BC 上一点,比较长度大小:BP + PC____AB + AC(填“＜”“=”或“＞”);
(2)将(1)中点 P 移至△ABC 内,得图②,试观察比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小,并说明理由;
(3)将(2)中点 P 变为两个点 P₁,P₂,得图③,试观察比较四边形 BP₁P₂C 的周长与△ABC 的周长的大小,并说明理由;
(4)将(3)中的点 P₁,P₂ 移至△ABC 外,并使点 P₁,P₂ 与点 A 在边 BC 的异侧,且∠P₁BC ＜ ∠ABC,∠P₂CB ＜ ∠ACB,得图④,比较周长大小:四边形 BP₁P₂C 的周长____△ABC 的周长(填“＜”“=”或“＞”);
(5)若将(3)中的四边形 BP₁P₂C 的顶点 B,C 移至△ABC 内,得四边形 B₁P₁P₂C₁,如图⑤,试观察比较四边形 B₁P₁P₂C₁ 的周长与△ABC 的周长的大小,并说明理由.

答案：

(1)＜
(2)△BPC的周长＜△ABC的周长.理由如下:如图①,延长BP交AC于点M,在△ABM中,BP+PM＜AB+AM,在△PMC中,PC＜PM+MC,两式相加得BP+PC＜AB+AC,所以△BPC的周长＜△ABC的周长.
(3)四边形BP₁P₂C的周长＜△ABC的周长.理由如下:如图②,分别延长BP₁,CP₂交于点M,由
(2)知,BM+CM＜AB+AC,又P₁P₂＜P₁M+P₂M,可得BP₁+P₁P₂+P₂C＜BM+CM＜AB+AC,可得结论.或作直线P₁P₂分别交AB,AC于点M,N(如图③),在△BMP₁中,BP₁＜BM+MP₁,在△AMN中,MP₁+P₁P₂+P₂N＜AM+AN,在△P₂NC中,P₂C＜P₂N+NC,三式相加得BP₁+P₁P₂+P₂C＜AB+AC,可得结论.
　
(4)＜　解析:将四边形BP₁P₂C沿直线BC翻折,使点P₁,P₂落在△ABC内,转化为
(3)的情形,即可得结论.
(5)四边形B₁P₁P₂C₁的周长＜△ABC的周长.理由如下:如图④,分别作如图所示的延长线交△ABC的边于点M,N,K,H,在△BNM中,NB₁+B₁P₁+P₁M＜BM+BN,又B₁C₁+C₁K＜NB₁+NC+CK,C₁P₂+P₂H＜C₁K+AK+AH,P₁P₂＜P₂H+MH+P₁M,将以上各式相加,得B₁P₁+P₁P₂+P₂C₁+B₁C₁＜AB+BC+AC,即可得结论.