《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

9. 如果多项式 $ mx^{2}-nx - 2 $ 能因式分解为 $ (3x + 2)(x + p) $，那么下列结论正确的是 (B)
A. $ m = 6 $
B. $ n = 1 $
C. $ p = -2 $
D. $ mnp = 3 $

答案： B 解析:
∵ 多项式 $ mx^{2} - nx - 2 $ 能因式分解为 $ (3x + 2)(x + p) $，
∴ $ (3x + 2)(x + p) = 3x^{2} + (3p + 2)x + 2p = mx^{2} - nx - 2 $，
∴ $ m = 3 $，$ p = -1 $，$ 3p + 2 = -n $，解得 $ n = 1 $

10. 计算 $ 2^{115}-(-2)^{116} $ 的结果是 (C)
A. $ 2^{230} $
B. $ 3×2^{115} $
C. $ -2^{115} $
D. $ (\frac{1}{2})^{115} $

答案： C 解析: $ 2^{115} - (-2)^{116} = 2^{115} - 2^{116} = 2^{115}(1 - 2) = -2^{115} $

11. (2023·绥化中考改编)已知 $ x + y = 6 $，$ z - x = -3 $，则整式 $ x^{2}+xy - xz - yz $ 的值为 (C)
A. 9
B. -9
C. 18
D. -18

答案： C 解析:
∵ $ z - x = -3 $，
∴ $ x - z = 3 $，
∴ $ x^{2} + xy - xz - yz = x(x + y) - z(x + y) = (x + y)(x - z) = 6×3 = 18 $。故选 C

12. 教材 P125 练习 T3 变式 $ 3^{93}+6×3^{92}-3^{94}= $0。

答案： 0 解析: $ 3^{93} + 6×3^{92} - 3^{94} = 3^{92}×(3 + 6 - 3^{2}) = 0 $

13. 改编题 边长为 $ a $，$ b(a ＞ b) $ 的长方形，它的长比宽多 5，面积为 10，则 $ 2ab^{2}-2a^{2}b $ 的值为-100。

答案： -100 解析: 由题意，得 $ a - b = 5 $，$ ab = 10 $，
∴ $ 2ab^{2} - 2a^{2}b = 2ab(b - a) = 2×10×(-5) = -100 $

14. (1)(2023·济宁中考)已知实数 $ m $ 满足 $ m^{2}-m - 1 = 0 $，则 $ 2m^{3}-3m^{2}-m + 9 = $8。
(2)(常德中考)若 $ x^{2}+x = 1 $，则 $ 3x^{4}+3x^{3}+3x + 1 $ 的值为4。

答案：
(1) 8 解析:
∵ $ m^{2} - m - 1 = 0 $，
∴ $ m^{2} - m = 1 $，
∴ $ 2m^{3} - 3m^{2} - m + 9 = 2m(m^{2} - m) - m^{2} - m + 9 = 2m - m^{2} - m + 9 = m - m^{2} + 9 = -(m^{2} - m) + 9 = -1 + 9 = 8 $
(2) 4 解析:
∵ $ x^{2} + x = 1 $，
∴ $ 3x^{4} + 3x^{3} + 3x + 1 = 3x^{2}(x^{2} + x) + 3x + 1 = 3x^{2} + 3x + 1 = 3(x^{2} + x) + 1 = 3 + 1 = 4 $

15. 不解方程组 $ \begin{cases}x+\frac{1}{2}y=\frac{3}{2},\\5x + 2 = 3y,\end{cases} $ 求整式 $ (2x + y)(2x - 3y)+3x(2x + y) $ 的值。
-6

答案： $ (2x + y)(2x - 3y) + 3x(2x + y) = (2x + y)(2x - 3y + 3x) = (2x + y)(5x - 3y) $。
∵ $ \begin{cases} x + \frac{1}{2}y = \frac{3}{2} \\ 5x + 2 = 3y \end{cases} $，
∴ $ \begin{cases} 2x + y = 3 \\ 5x - 3y = -2 \end{cases} $，
∴ 原式 $ = 3×(-2) = -6 $

16. 两位同学将一个二次三项式因式分解，一位同学因看错了一次项系数而分解成 $ 2(x - 1)(x - 9) $，另一位同学因看错了常数项而分解成 $ 2(x - 2)(x - 4) $，求原来的二次三项式。

答案： 设原多项式为 $ ax^{2} + bx + c $ (其中 $ a $，$ b $，$ c $ 均为常数，且 $ abc ≠ 0 $)。
∵ $ 2(x - 1)(x - 9) = 2(x^{2} - 10x + 9) = 2x^{2} - 20x + 18 $，
∴ $ a = 2 $，$ c = 18 $。又
∵ $ 2(x - 2)(x - 4) = 2(x^{2} - 6x + 8) = 2x^{2} - 12x + 16 $，
∴ $ b = -12 $。
∴ 这个多项式为 $ 2x^{2} - 12x + 18 $

17. 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
$ 1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2} $
$ = (1 + x)[1 + x + x(1 + x)] $
$ = (1 + x)^{2}(1 + x) $
$ = (1 + x)^{3} $。
(1)上述因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次。
(2)若因式分解 $ 1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+\cdots + x(x + 1)^{95} $，则需要应用上述方法多少次？因式分解的结果是多少？
需要应用提公因式法95次，因式分解的结果是$(x + 1)^{96}$。

答案：
(1) 提公因式 2
(2) $ 1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} + \cdots + x(x + 1)^{95} = (1 + x)[1 + x + x(x + 1) + \cdots + x(x + 1)^{94}] = (1 + x)^{2}[1 + x + x(x + 1) + \cdots + x(x + 1)^{93}] = \cdots = (x + 1)^{96} $。
∴ 需要应用提公因式法 95 次，因式分解的结果是 $ (x + 1)^{96} $