《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

10.如图,AB=10,∠A=∠B=45°,AC=BD=3√2.点E,F为线段AB上两点.现存在以下条件:①CE=DF=4;②AF=BE;③∠CEB=∠DFA;④CE=DF=5.请在以上条件中选择一个条件,使得△ACE一定和△BDF全等,则这个条件可以为______②③④.(写序号)

答案： ②③④　解析：②可用SAS判定。③可用AAS判定。$∵$点E，F在线段AB上，$4 ＜ 3 \sqrt { 2 } ＜ 5$，$∴$当$CE = 4$时，点E的位置有两个；当$CE = 5$时，点E的位置只有一个，$∴$①不可以，④可以。

11.(湘西中考改编)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,E为AB的中点,D为AC上一点,BF//AC交DE的延长线于点F.AC=6,BF与AC之间的距离为5,则四边形FBCD周长的最小值是______16.

答案： 16　解析：$∵ E$为AB的中点，$∴ BE = AE$。$∵ BF // AC$，$∴ ∠EBF = ∠EAD$。在$△BFE$和$△ADE$中，$\left\{ \begin{array} { l } { ∠EBF = ∠EAD, } \\ { BE = AE, } \\ { ∠BEF = ∠AED, } \end{array} \right.$ $∴ △BFE ≌ △ADE (ASA)$，$∴ BF = AD$，$∴$四边形FBCD的周长$ = BF + FD + CD + BC = AD + CD + FD + BC = AC + BC + FD = 11 + FD$。当$FD ⊥ AC$时，FD最短，此时$FD = 5$，$∴$四边形FBCD周长的最小值为$5 + 11 = 16$。

12.(恩施州中考)如图,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AB//ED,AC//FD,AD交BE于O.求证:AD与BE互相平分.

证明:∵ FB = CE，∴ FB + CF = CE + CF，即BC = EF。又∵ AB // ED，AC // FD，∴ ∠ABC = ∠DEF，∠ACB = ∠DFE。在△ABC和△DEF中，$\left\{ \begin{array} { l } { ∠ABC = ∠DEF, } \\ { BC = EF, } \\ { ∠ACB = ∠DFE, } \end{array} \right.$ ∴ △ABC ≌ △DEF (ASA)，∴ AC = DF。在△AOC和△DOF中，$\left\{ \begin{array} { l } { ∠ACO = ∠DFO, } \\ { ∠AOC = ∠DOF, } \\ { AC = DF, } \end{array} \right.$ ∴ △AOC ≌ △DOF (AAS)，∴ AO = DO，FO = CO。∵ BF = CE，∴ BO = EO，∴ AD与BE互相平分。

答案： $∵ FB = CE$，$∴ FB + CF = CE + CF$，即$BC = EF$。又$∵ AB // ED$，$AC // FD$，$∴ ∠ABC = ∠DEF$，$∠ACB = ∠DFE$。在$△ABC$和$△DEF$中，$\left\{ \begin{array} { l } { ∠ABC = ∠DEF, } \\ { BC = EF, } \\ { ∠ACB = ∠DFE, } \end{array} \right.$ $∴ △ABC ≌ △DEF (ASA)$，$∴ AC = DF$。在$△AOC$和$△DOF$中，$\left\{ \begin{array} { l } { ∠ACO = ∠DFO, } \\ { ∠AOC = ∠DOF, } \\ { AC = DF, } \end{array} \right.$ $∴ △AOC ≌ △DOF (AAS)$，$∴ AO = DO$，$FO = CO$。$∵ BF = CE$，$∴ BO = EO$，$∴ AD$与BE互相平分。
技法点拨
(1) 分析法证明三角形全等：分析法，即逆向推导，从要证的结论出发，根据已学知识，反过来寻找能使结论成立所需的条件，一直追溯到使结论成立的条件与已知条件吻合。证明三角形全等时，先明确要判定全等的两个三角形，再寻找已知条件，根据已知条件得出缺少的条件，从而证得结论。在证明线段或角度相等的问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等。
(2) 两头凑法证明三角形全等：两头凑法，即从已知和结论两头出发，向中间推导。先根据已知条件，结合所学知识，看能推导出什么结论；同时由结论出发，反过来寻找使结论成立所需的条件，一步步逆推，当正好和由已知推导出的结论相吻合时，问题即可得证。

13.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2,过A点作AD//BC,AE⊥AC,AC=AE,AD=3,连接DE,则△ADE的面积为______.

答案：
3　解析：如图，过点E作$EF ⊥ DA$，交DA的延长线于点F。$∵ AE ⊥ AC$，$∴ ∠EAF + ∠FAC = 90°$。$∵ AD // BC$，$∠B = 90°$，$∴ ∠BAF + ∠B = 180°$，$∴ ∠BAF = 90°$，$∴ ∠BAC + ∠FAC = 90°$，$∴ ∠EAF = ∠CAB$。又$∠F = ∠B$，$AE = AC$，$∴ △AEF ≌ △ACB (AAS)$，$∴ EF = BC = 2$，$∴ S_{△ADE} = \frac { 1 } { 2 } AD \cdot EF = \frac { 1 } { 2 } × 3 × 2 = 3$。

14.【阅读与证明】在一个三角形中,如果有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.如图①,在△ABC中,如果∠B=∠C,那么AB=AC,这一结论可以证明如下:
证明:过点A作AD⊥BC于点D,则∠ADB=∠ADC=90°.在△ABD和△ACD中,∠B=∠C,∠ADB=∠ADC,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(AAS),∴AB=AC.
请你仿照上述方法在图②中再选一种方法证明以上结论.
【操作】如图③,O为线段MN的中点,直线PQ与MN相交于点O,过点M,N作一组平行线分别与PQ交于点M',N',则线段MM'一定等于NN'.想一想,为什么?
根据上述【阅读与证明】的结论以及【操作】得到的经验完成下列探究活动.
【探究】如图④,在四边形ABCD中,AB//DC,E为BC边的中点,∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相交于点F.试探究线段AB与AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论.

答案：
【阅读与证明】如图①，作$∠BAC$的平分线$AD'$，交BC于点$D'$，则$∠BAD' = ∠CAD'$。在$△ABD'$和$△ACD'$中，$\left\{ \begin{array} { l } { ∠BAD' = ∠CAD', } \\ { ∠B = ∠C, } \\ { AD' = AD', } \end{array} \right.$ $∴ △ABD' ≌ △ACD' (AAS)$，$∴ AB = AC$。

【操作】如图②，$∵ MM' // NN'$，$∴ ∠M = ∠N$。$∵ O$为线段MN的中点，$∴ OM = ON$。在$△MOM'$和$△NON'$中，$\left\{ \begin{array} { l } { ∠M = ∠N, } \\ { OM = ON, } \\ { ∠MOM' = ∠NON', } \end{array} \right.$ $∴ △MOM' ≌ △NON' (ASA)$，$∴ MM' = NN'$。
【探究】$AB = AF + CF$。证明如下：如图③，连接FE并延长交AB于点G。$∵ AB // DC$，$∴ ∠B = ∠ECF$。$∵ E$为BC边的中点，$∴ BE = CE$。在$△BEG$和$△CEF$中，$\left\{ \begin{array} { l } { ∠B = ∠ECF, } \\ { BE = CE, } \\ { ∠BEG = ∠CEF, } \end{array} \right.$ $∴ △BEG ≌ △CEF (ASA)$，$∴ EG = EF$，$BG = CF$。延长AE到点H，使$AE = EH$，连接HF。在$△AEG$和$△HEF$中，$\left\{ \begin{array} { l } { AE = HE, } \\ { ∠AEG = ∠HEF, } \\ { EG = EF, } \end{array} \right.$ $∴ △AEG ≌ △HEF (SAS)$，$∴ AG = HF$，$∠BAE = ∠H$。$∵ ∠BAE = ∠EAF$，$∴ ∠H = ∠EAF$，由【阅读与证明】中证明的结论可得$AF = HF$，$∴ AG = AF$；$∵ AB = AG + BG$，$∴ AB = AF + CF$。