《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

9. (荆州中考)若点$P(a+1,2-2a)$关于$x$轴的对称点在第四象限,则$a$的取值范围在数轴上表示为(C)

答案： C 解析：
∵点$P(a + 1,2 - 2a)$关于x轴的对称点在第四象限，
∴点P在第一象限，
∴$\left\{\begin{array}{l} a + 1 ＞ 0,\\ 2 - 2a ＞ 0,\end{array}\right.$解得$-1 ＜ a ＜ 1$。

10. (2023·聊城中考)如图,在直角坐标系中,$\triangle ABC$各点坐标分别为$A(-2,1),B(-1,3),C(-4,4)$.先作$\triangle ABC$关于$x$轴成轴对称的$\triangle A_1B_1C_1$,再把$\triangle A_1B_1C_1$平移后得到$\triangle A_2B_2C_2$.若$B_2(2,1)$,则点$A_2$的坐标为(B)

A. $(1,5)$
B. $(1,3)$
C. $(5,3)$
D. $(5,5)$

答案： B 解析：
∵点$A(-2,1)$，$B(-1,3)$，$C(-4,4)$关于x轴对称的点的坐标分别为$A_{1}(-2,-1)$，$B_{1}(-1,-3)$，$C_{1}(-4,-4)$，结合$B_{2}(2,1)$，
∴得到平移规律为向右平移3个单位长度，向上平移4个单位长度，故点$A_{2}$的坐标为$(1,3)$。故选B。

11. 如图,在平面直角坐标系中摆放着一个轴对称图形,其中点$A(-6,6)$的对称点$A'$的坐标为$(0,6)$,点$M(m,n)$为图形上的一点,则点$M$在图形上的对称点坐标为$(-6 - m,n)$.

答案： $(-6 - m,n)$ 解析：
∵点$A(-6,6)$的对称点$A'$的坐标为$(0,6)$，
∴对称轴上点的横坐标为-3。设点M在图形上的对称点坐标为$(m',n')$，
∴$\frac{m + m'}{2} = -3$，$n' = n$，
∴$m' = -6 - m$，
∴点M在图形上的对称点坐标为$(-6 - m,n)$。

12. 如图,在平面直角坐标系中,直线$y=x$是第一、三象限的角平分线.
实验与探究:(1)由图观察可知点$A(0,2)$与点$A_1(2,0)$关于直线$y=x$对称,请你在图中标明点$B(3,5),C(3,-5),D(-3,-5),E(-5,0)$关于直线$y=x$的对称点$B_1,C_1,D_1,E_1$的位置,并写出它们的坐标.$B_{1}(5,3)$，$C_{1}(-5,3)$，$D_{1}(-5,-3)$，$E_{1}(0,-5)$
归纳与发现:(2)结合图形并观察以上五组点的坐标,你会发现:坐标平面内任意一点$P(a,b)$关于直线$y=x$的对称点$P_1$的坐标为____$(b,a)$.
拓展与运用:(3)若点$M(4,2x+5y)$与点$N(-3,3x-y)$关于第一、三象限的角平分线对称,求点$(x,y)$的坐标.$(1,-1)$

答案：
(1)在图中标点略。$B_{1}(5,3)$，$C_{1}(-5,3)$，$D_{1}(-5,-3)$，$E_{1}(0,-5)$。
(2)$(b,a)$
(3)根据任意一点$P(a,b)$关于直线$y = x$的对称点$P_{1}$的坐标为$(b,a)$，可知$\left\{\begin{array}{l} 2x + 5y = -3,\\ 3x - y = 4,\end{array}\right.$ $\therefore \left\{\begin{array}{l} x = 1,\\ y = -1,\end{array}\right.$
∴点$(x,y)$的坐标为$(1,-1)$。

13. 如图,在平面直角坐标系中,点$A$的坐标为$(0,4)$,点$B$的坐标为$(3,0)$,$AB=5$,点$C,D$分别在$y$轴、$AB$上运动,连接$BC,CD$,则$BC+CD$的最小值是多少?

答案：
如图所示，先找出点B关于y轴的对称点$B'$，连接$AB'$，在$AB'$上截取$AD' = AD$，此时点D与点$D'$关于y轴对称，从而可知$BC + CD = BC + CD'$。再根据垂线段最短可知，当$BD'$是线段$AB'$的垂线段，$BD'$与y轴交于点C时，$BC + CD$即$BC + CD'$有最小值$BD'$。$S_{\triangle ABB'} = \frac{1}{2}BB'·AO = \frac{1}{2}·AB'·BD'$，即$S_{\triangle ABB'} = \frac{1}{2}×6×4 = \frac{1}{2}×5×BD'$，
∴$BD' = \frac{24}{5}$，
∴$BC + CD$的最小值为$\frac{24}{5}$。