《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

11.（16分）（2025·济南期末）【概念学习】
在一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式.
【特例感知】
代数式$ m+n+p $中任意两个字母交换位置，可得到代数式$ n+m+p, p+n+m, m+p+n $，因为$ n+m+p=p+n+m=m+p+n $，所以$ m+n+p $是对称式. 而交换式子$ m-n $中字母$ m, n $的位置，得到代数式$ n-m $，因为$ m-n \neq n-m $，所以$ m-n $不是对称式.
【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：
（1）下列代数式中是对称式的有______；（填序号）
①$ 2^{m} \cdot 2^{n} \cdot 2^{p} $
②$ \left[(-2)^{m}\right]^{n} $
③$ \frac{(-2)^{m}}{(-2)^{n}} $
④$ (m-n)^{2} $
（2）若关于$ m, n $的代数式$ k(m-n)^{2}+k m^{2}-n^{2} $为对称式，则$ k $的值为______；
（3）在（2）的条件下，已知上述对称式$ k(m-n)^{2}+k m^{2}-n^{2}=-10 $，且$ m n=1 $，求$ (m-n)^{2} $的值.
①②④
-1
4

答案：
(1) ①②④ 解析: ① $\because 2^m \cdot 2^n \cdot 2^p = 2^p \cdot 2^n \cdot 2^m = 2^{p + n + m}$, $\therefore$ ①是对称式; ② $\because [(-2)^m]^n = [(-2)^n]^m = (-2)^{mn}$, $\therefore$ ②是对称式; ③ $\because \frac{(-2)^m}{(-2)^n} \neq \frac{(-2)^n}{(-2)^m}$, $\therefore$ ③不是对称式; ④ $\because (m - n)^2 = (n - m)^2$, $\therefore$ ④是对称式.
(2) -1 解析: $\because$ 关于 $m$, $n$ 的代数式 $k(m - n)^2 + km^2 - n^2$ 为对称式, $\therefore k(m - n)^2 + km^2 - n^2 = k(n - m)^2 + kn^2 - m^2$, $k(m - n)^2 - k(n - m)^2 + km^2 - kn^2 + m^2 - n^2 = 0$, $k(m^2 - n^2) + (m^2 - n^2) = 0$, $(k + 1)(m^2 - n^2) = 0$, $\therefore k + 1 = 0$, 即 $k = -1$.
(3) $\because k = -1$, $\therefore -(m - n)^2 - m^2 - n^2 = -10$, $-m^2 + 2mn - n^2 - m^2 - n^2 = -10$, $-2m^2 - 2n^2 + 2mn = -10$, $-2(m^2 + n^2) = -10 - 2mn$, $2(m^2 + n^2) = 10 + 2mn$, $m^2 + n^2 = 5 + mn = 6$, $\therefore (m - n)^2 = m^2 + n^2 - 2mn = 6 - 2 \times 1 = 6 - 2 = 4$.

12.（16分）（2025·大连期末）问题背景：
在如今信息快速发展的时代，“密码”与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如生日，连续数字等简单密码又容易被破解，密码过于复杂自己又容易忘记，因此设置一组便于记忆的密码就很有必要了.
某班级同学们在经过思考后想出了不同的方法，其中有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆. 其原理是：将一个多项式分解因式，$ x^{3}-x $因式分解的结果为$ x(x-1)(x+1) $，当$ x=10 $时，$ x-1=9, x+1=11 $，此时把所得到的数字按照从小到大的顺序排列可以得到数字密码091011.
实际应用：
（1）根据上述方法，小明同学设置了某平台登录密码：多项式$ x^{3}-x y^{2} $分解因式后利用$ x, y $的数值设置密码，当$ x=9, y=3 $时，请破解小明的密码是多少；060912
（2）学校管理员设置了一个密码，一个等腰三角形的周长是12，其中腰和底分别为不同的整数$ x, y $，请你破解出由多项式$ x^{3}-4 x y^{2} $分解因式后得到的密码；010509
拓展应用：
（3）若多项式$ x^{3}+(m-2 n) x^{2}+5 n x $因式分解后，利用前面的方法，当$ x=24 $时，得到的密码为242932，求$ m, n $的值.$m=29$，$n=8$

答案：
(1) $x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x - y)(x + y)$, 当 $x = 9$, $y = 3$ 时, $x - y = 9 - 3 = 6$, $x + y = 9 + 3 = 12$, $\therefore$ 小明的密码是 060912.
(2) $\because$ 一个等腰三角形的周长是 12, 其中腰和底分别为不同的整数 $x$, $y$, $\therefore 2x + y = 12$. $\because x$, $y$ 都为整数, $\therefore \begin{cases} x = 5, \\ y = 2 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x = 4, \\ y = 4 \end{cases}$ (不合题意, 舍去), $x^3 - 4xy^2 = x(x^2 - 4y^2) = x(x + 2y)(x - 2y)$, 当 $x = 5$, $y = 2$ 时, $x + 2y = 5 + 2 \times 2 = 9$, $x - 2y = 5 - 2 \times 2 = 1$, $\therefore$ 多项式 $x^3 - 4xy^2$ 分解因式后得到的密码是 010509.
(3) $x^3 + (m - 2n)x^2 + 5nx = x[x^2 + (m - 2n)x + 5n]$, 设 $x[x^2 + (m - 2n)x + 5n] = x(x + a)(x + b) = x[x^2 + (a + b)x + ab]$. $\because$ 当 $x = 24$ 时, 得到的密码为 242932, $\therefore x + a = 29$, $x + b = 32$, $\therefore a = 5$, $b = 8$, $\therefore a + b = 13$, $ab = 40$, $\therefore \begin{cases} m - 2n = 13, \\ 5n = 40, \end{cases}$ 由②得 $n = 8$, 把 $n = 8$ 代入①得 $m = 29$, $\therefore m = 29$, $n = 8$.