《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

11. (2024·扬州期中)如图,在△ABC中,D为BC的中点,DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E,EF⊥AB交AB于点F,EG⊥AC交AC的延长线于点G.
(1)连接BE,CE,求证:BF=CG;
(2)若AB=10,AC=6,求AF的长;
(3)在(2)的条件下,△ABC中连接AD,直接写出AD的取值范围;
(4)在(2)的条件下,若AE与BC相交于H,当BC=12时,直接写出BH的值.

答案：
11.
(1)如图①，

∵ED⊥BC，D为BC的中点，
∴BE = EC。
∵EF⊥AB，EG⊥AC，AE是∠BAC的平分线，
∴EF = EG，∠EFB = ∠EGC = 90°。在Rt△BEF和Rt△CEG中，$\begin{cases}BE = EC, \\ EF = EG,\end{cases}$
∴Rt△BEF ≌ Rt△CEG(HL)，
∴BF = CG。
(2)
∵EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠AFE = ∠AGE = 90°。在Rt△AFE和Rt△AGE中，$\begin{cases}AE = AE, \\ EF = EG,\end{cases}$
∴Rt△AFE ≌ Rt△AGE(HL)，
∴AF = AG。
∵BF = CG，
∴AF + AG = AB + AC。
∵AF = AG，
∴AF = $\frac{1}{2} \times (AF + AG) = \frac{1}{2} \times (AB + AC) = \frac{1}{2} \times (10 + 6) = 8$。
(3) 2 ＜ AD ＜ 8. 解析：如图②，延长AD到P，使AD = DP，连接BP，
∵BD = CD，∠ADC = ∠PDB，
∴△ADC ≌ △PDB(SAS)，
∴BP = AC = 6，AD = PD，
∴10 - 6 ＜ AP ＜ 10 + 6，即4 ＜ 2AD ＜ 16，
∴2 ＜ AD ＜ 8。

(4) BH的值为$\frac{15}{2}$ 解析：如图③，过点A作AM⊥BC于M，设CM = x，则BM = 12 - x。由勾股定理得$AM^2 = AC^2 - CM^2 = AB^2 - BM^2$，
∴$6^2 - x^2 = 10^2 - (12 - x)^2$，
∴$x = \frac{10}{3}$，
∴$CM = \frac{10}{3}$，
∴$AM = \sqrt{6^2 - (\frac{10}{3})^2} = \sqrt{36 - \frac{100}{9}} = \frac{4\sqrt{14}}{3}$。过点H作HJ⊥AB于J，作HQ⊥AC于Q，
∵AH平分∠BAC，
∴HJ = HQ，
∴$\frac{1}{2} \times \frac{4\sqrt{14}}{3} \times 12 = \frac{1}{2} \times 10HJ + \frac{1}{2} \times 6HJ$，
∴$HJ = \sqrt{14}$，
∴$\frac{1}{2} \times BH \times \frac{4\sqrt{14}}{3} = \frac{1}{2} \times 10 \times \sqrt{14}$，
∴$BH = \frac{15}{2}$。

12. (2024·武威期中)如图,在三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD平分∠BAC,CE⊥AD交AB于E,点G是AD上的一点,且∠ACG=45°,连接BG交CE于P,连接DP,下列结论:①AC=AE,②CD=BE,③BG+2DP=AD,④PG=PE,其中正确的有( )

A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ①②③④

答案：
12.B　解析:如图，设CE与AD交于点O，

∵∠ACB = 90°，AC = BC，
∴∠ABC = ∠BAC = 45°。
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD = ∠BAD = 22.5°。
∵CE⊥AD，
∴∠AOC = ∠AOE = 90°，
∴∠ACO = ∠AEO = 67.5°，
∴AC = AE，故①正确；
∵∠ACB = 90°，
∴∠BCE = ∠CAG = 22.5°，在△ACG和△CBE中，$\begin{cases}∠BCE = ∠CAG, \\ BC = AC, \\ ∠CBE = ∠ACG,\end{cases}$
∴△ACG ≌ △CBE(ASA)，
∴CG = BE。
∵∠ACB = 90°，
∴∠ADC = 67.5°。
∵∠CGD = ∠CAD + ∠ACG = 22.5° + 45° = 67.5°，
∴∠ADC = ∠CGD = 67.5°，
∴CD = CG，
∴CD = BE，故②正确；
∵CE⊥AD，
∴DO = GO，
∴CE垂直平分DG，
∴DP = PG。
∵∠ACG = ∠BCG = 45°，
∴CG所在直线垂直平分AB，
∴BG = AG，
∴AD = AG + DG = BG + DG，DG ≠ 2DP，故③错误；
∵BG = AG，
∴∠GAB = ∠GBA = ∠PCG = 22.5°，由上可知CD = CG，CD = BE，
∴CG = BE。在△PBE和△PCG中，$\begin{cases}∠PBE = ∠PCG, \\ ∠BPE = ∠CPG, \\ BE = CG,\end{cases}$
∴△PBE ≌ △PCG(AAS)，
∴PG = PE，故④正确。综上，①②④正确。

13. (2024·大连期中)如图,已知在△ABC中,点G是AB边上一点,点E是BC延长线上一点,GE交AC于点D,点F是AD上一点,连接GF,∠GFC=2∠BAC,∠FGE=2∠BEG,AC=GE,GH⊥BC于点H.
(1)写出与∠BAC相等的角,∠BAC=______;
(2)若∠GFC=∠FGE,在图中找出与AG相等的线段并证明;
(3)若HC=2,CE=3,求BC的长度.

答案：
13.
(1)∠AGF
(2)AG = CE. 证明：
∵∠GFC = 2∠BAC，∠GFC = ∠FGE，∠FGE = 2∠BEG，
∴∠BAC = ∠BEG。在△BAC和△BEG中，$\begin{cases}∠B = ∠B, \\ ∠BAC = ∠BEG, \\ AC = EG,\end{cases}$
∴△BAC ≌ △BEG(AAS)，
∴BC = BG，AB = EB，
∴AB - BG = EB - BC，即AG = CE。
(3)如图，延长FG交CB的延长线于点M，过点M作MN//AC交AB的延长线于点N，∠MGN = ∠AGF = ∠BAC，则∠N = ∠BAC，
∴∠N = ∠MGN，
∴MG = MN。
∵∠FGE = 2∠BEG = ∠BEG + ∠GME，
∴∠BEG = ∠GME，
∴MG = GE。
∵AC = GE，
∴MN = AC。在△NBM和△ABC中，$\begin{cases}∠NBM = ∠ABC, \\ ∠N = ∠BAC, \\ MN = CA,\end{cases}$
∴△NBM ≌ △ABC(AAS)，
∴BM = BC。设BH = x，
∵HC = 2，CE = 3，
∴BM = BC = x + 2，EH = 5。
∴MH = BM + BH = 2x + 2。
∵MG = GE，GH⊥BC，
∴MH = EH。
∴2x + 2 = 5，解得$x = \frac{3}{2}$，
∴$BH = \frac{3}{2}$，
∴$BC = BH + HC = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}$，故BC的长度为$\frac{7}{2}$。

14. (2024·兰州期中)【问题提出】
(1)如图①,在△ABC中,∠B=∠ACB,点D是AB上一点,DE//AC交BC于点E,点F是CE的中点,连接DF并延长交AC的延长线于点G,求证:BD=CG.
【问题探究】
(2)如图②,在四边形ABCD中,AB//CD,点E是BC的中点,连接AE,∠EAF=∠BAE,AF与DC的延长线交于点F.探究线段AB与AF,CF之间的数量关系,并说明理由.
【问题解决】
(3)如图③,某校有一块四边形空地ABCD,现将这块空地规划为实践活动区域,在BC的中点E处修建入口,沿AE修建一条小路(小路的宽度忽略不计),将这块空地分成两部分,在△ABE内种植蔬菜,在四边形ADCE内种花卉,已知∠BAD=60°,AE恰好平分∠BAD,∠B=180°-$\frac{1}{2}$∠BCD,BC=100m,求CD的长.

答案：
14.
(1)
∵DE//AG，∠B = ∠ACB，
∴∠FDE = ∠FGC，∠BED = ∠ACB = ∠B，
∴BD = DE。
∵点F是CE的中点，
∴EF = CF。
∵∠FDE = ∠FGC，∠DFE = ∠GFC，EF = CF，
∴△DEF ≌ △GCF(AAS)，
∴DE = GC，
∴BD = CG。
(2)AB = AF + CF。理由：分别延长AE，DF，AE与DF的延长线交于点G，如图①。
∵AB//DC，
∴∠B = ∠GCE，∠BAE = ∠EGC。
∵E为BC边的中点，
∴BE = CE，
∴△ABE ≌ △GCE(AAS)，
∴AB = CG。又
∵∠EAF = ∠BAE，
∴∠G = ∠EAF，
∴AF = GF，
∴AB = CG = GF + CF = AF + CF。

(3)过C作CM//AB交AE的延长线于点M，延长MC交AD于点N，连接EN，如图②。
∵点E是BC的中点，BC = 100m，
∴BE = CE = 50m。
∵AB//MN，∠BAD = 60°，
∴∠B + ∠ECN = 180°，∠BAD = ∠CND = 60°，∠BAE = ∠M。
∵∠BAE = ∠M，∠AEB = ∠MEC，BE = CE，
∴△ABE ≌ △MCE(AAS)，
∴AE = ME。
∵AE平分∠BAD，
∴∠M = ∠BAE = ∠DAE，
∴AN = MN。又AE = ME，
∴NE平分∠ANM，
∴∠ANE = ∠MNE = ∠CND = 60°。
∵∠B = 180° - $\frac{1}{2}$∠BCD，∠B + ∠ECN = 180°，
∴∠ECN = ∠DCN。
∵∠CNE = ∠CND，CN = CN，∠ECN = ∠DCN，
∴△CNE ≌ △CND(ASA)，
∴CD = CE = 50m。