《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

1. (2025·南充期末)定义:如果 1 条线段将一个三角形分割成 2 个等腰三角形,我们把这条线段叫作这个三角形的“双等腰线”.如果 2 条线段将一个三角形分割成 3 个等腰三角形,我们把这 2 条线段叫作这个三角形的“三等腰线”.如图①,线段 BD 将顶角为 $ 36^{\circ} $ 的等腰三角形 ABC 分成了两个等腰三角形,则线段 BD 是 $ \triangle ABC $ 的“双等腰线”;线段 BD,CE 将顶角为 $ 36^{\circ} $ 的等腰三角形 ABC 分成了三个等腰三角形,则线段 BD,CE 是 $ \triangle ABC $ 的“三等腰线”.


(1)请在图②中,作出 $ \triangle ABC $ 的“双等腰线”,并标出分成的等腰三角形的底角的度数:
① $ \angle A = 20^{\circ}, \angle B = 40^{\circ} $;
② $ \angle A = 67.5^{\circ}, \angle C = 90^{\circ} $.
(2)请在图③中,画出顶角为 $ 45^{\circ} $ 的等腰三角形 ABC 的“三等腰线”,并标出每个等腰三角形顶角的度数(画出一种即可).
(3)画图和计算:在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 25.5^{\circ} $,点 D 在 BC 边上,点 E 在 AB 边上,AD 和 DE 是 $ \triangle ABC $ 的“三等腰线”,且 $ AD = CD, BE = DE $,请试画出示意图,并求 $ \angle B $ 的度数.

答案：

(1)①如图①所示:
　　　　　　　　　
　②如图②所示:
　　　
(2)如图③所示 ,画出一种即可.
(3)设$\angle B = x^{\circ}$，①当$AD = AE$时，如图④，
$\because AD = CD$，$\therefore \angle CAD = \angle C = 25.5^{\circ}$，$\because DE = EB$，$\therefore \angle EDB = \angle B = x^{\circ}$，
$\therefore \angle ADE = \angle AED = 2x^{\circ}$，$\therefore 2x + x = 25.5 + 25.5$，$\therefore x = 17$，$\therefore \angle B = 17^{\circ}$。
　　　　 　　
②当$AD = DE$时，如图⑤，$\because AD = CD$，$\therefore \angle CAD = \angle C = 25.5^{\circ}$，$\because DE = EB$，$\therefore \angle EDB = \angle B = x^{\circ}$，$\therefore \angle DAE = \angle AED = 2x^{\circ}$，$\therefore 25.5 + 25.5 + 2x + x = 180$，$\therefore x = 43$，$\therefore \angle B = 43^{\circ}$。
③当$AE = DE$时，$\because AD = CD$，$\therefore \angle CAD = \angle C = 25.5^{\circ}$，$\because DE = EB$，$\therefore \angle EDB = \angle B = x^{\circ}$，$\therefore \angle AED = 2x^{\circ}$，$\therefore \angle DAE = \angle ADE = \frac{180^{\circ} - x}{2} = (90 - x)^{\circ}$，$\because 90 - x + 25.5 + 25.5 + x = 180$，$\therefore$此时$x$不存在，应舍去。综上所述，$\angle B$的度数为$17^{\circ}$或$43^{\circ}$。

2. (2024·北京期中)在平面直角坐标系 xOy 中,对于点 P 和点 H(点 H 的横、纵坐标相等),给出如下定义:$ l_1 $ 为过点 $ H(h,h) $ 且与 x 轴垂直的直线,$ l_2 $ 为过点 $ H(h,h) $ 且与 y 轴垂直的直线,先作点 P 关于 $ l_1 $ 的对称点 E,再作点 E 关于 $ l_2 $ 的对称点 $ P' $,则称点 $ P' $ 是点 P 关于点 $ H(h,h) $ 的“关联点”.
例如:如图,点 $ G(2,1) $ 关于原点 $ O(0,0) $ 的“关联点”是 $ G'(-2,-1) $.
(1)①点 $ (-3,1) $ 关于点 $ (-2,-2) $ 的关联点坐标为____;
(2)如果点 $ F'(1,2) $ 是点 $ F(-3,-4) $ 关于点 $ H(h,h) $ 的“关联点”,那么 $ h = $____;
(3)点 $ A(0,4) $ 关于点 $ H(h,h) $ 的“关联点”为 $ A' $,如果 $ \triangle OAA' $ 是以 OA 为底的等腰三角形,求该三角形的面积;
(4)点 $ B(h,2) $ 关于点 $ H(h,h) $ 的“关联点”为 $ B' $,如果以 $ BB' $ 为边的等腰直角三角形只在第一象限内,直接写出 h 的取值范围.

答案：

(1)$(-1, -5)$ 解析:由题意知，$l_1$为直线$x = -2$，$l_2$为直线$y = -2$，$\therefore$点$(-3, 1)$关于$l_1$的对称点为点$(-1, 1)$，点$(-1, 1)$关于$l_2$的对称点为点$(-1, -5)$。
(2)$-1$ 解析:设点$F$关于$l_1$的对称点为$E$，则$F'$与$E$关于$l_2$对称，$\therefore$点$E$的横坐标与$F'$的横坐标相同，为$1$。$\because$点$F$的横坐标为$-3$，$\therefore h = \frac{-3 + 1}{2} = -1$。
(3)$\because \triangle OAA'$是以$OA$为底的等腰三角形，$\therefore A'$在$OA$的垂直平分线上，$\therefore y_{A'} = 2$。设点$A$关于$l_1$的对称点为$E$，则$A'$与$E$关于$l_2$对称，如图①，$\therefore E(2h, 4)$，$A'(2h, 2)$，$\therefore h = \frac{2 + 4}{2} = 3$，$\therefore A'(6, 2)$，$\therefore S_{\triangle OAA'} = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12$，$\therefore \triangle OAA'$的面积为$12$。
　　　　
(4)$\frac{4}{3} ＜ h ＜ 2$或$2 ＜ h ＜ 4$ 解析:由题意知，①当$h ＜ 2$时，点$B(h, 2)$关于直线$l_1$的对称点是点$B$本身，点$B(h, 2)$关于直线$l_2$的对称点为$B'(h, 2h - 2)$，$\therefore BB' = 4 - 2h$，$\because$以$BB'$为边的等腰直角三角形只在第一象限内，$\therefore 2h - 2 ＞ 0$，解得$h ＞ 1$，当$BB'$为等腰直角三角形的底边时，如图②中$\triangle BC'B'$，$\therefore 2 - h ＜ h$，解得$h ＞ 1$；当$BB'$为等腰直角三角形的腰时，如图②中$\triangle BCB'$，$\therefore 4 - 2h ＜ h$，解得$h ＞ \frac{4}{3}$，$\therefore \frac{4}{3} ＜ h ＜ 2$；②当$h ＞ 2$时，点$B(h, 2)$关于直线$l_1$的对称点是点$B$本身，点$B(h, 2)$关于直线$l_2$的对称点为$B'(h, 2h - 2)$，$\therefore BB' = 2h - 4$，$\because$以$BB'$为边的等腰直角三角形只在第一象限内，当$BB'$为等腰直角三角形的腰时，如图③中$\triangle BB'C''$，$\therefore 2h - 4 ＜ h$，解得$h ＜ 4$，$\therefore 2 ＜ h ＜ 4$。综上所述，$h$的取值范围为$\frac{4}{3} ＜ h ＜ 2$或$2 ＜ h ＜ 4$。