《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD = DE$，$\angle BAD = 20^{\circ}$，$\angle EDC = 10^{\circ}$，则$\angle DAE$的度数为（C）

A. $30^{\circ}$
B. $40^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $80^{\circ}$

答案： C　解析:设∠C=x，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=x，
∴∠AED=x+10°。
∵AD=DE，
∴∠DAE=∠AED=x+10°。
∵∠ADC=∠B+∠BAD=x+20°，∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠ADE+10°，
∴∠ADE=x+10°。在△ADE中，根据三角形的内角和定理，得(x+10°)×3=180°，解得x=50°，则∠DAE=60°。

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$D$，$E$分别是$AC$，$AB$边上的点，且$BD = BC$，$AD = DE = EB$，则$\angle A =$______$^{\circ}$。

45

答案： 45　解析:
∵DE=EB，
∴设∠BDE=∠ABD=x，
∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x。
∵AD=DE，
∴∠AED=∠A=2x，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x。
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=3x。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3x。在△ABC中，由3x+3x+2x=180°，解得x=22.5°，
∴∠A=2x=22.5°×2=45°。

3. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$D$，$E$为斜边$AB$上的两个点，且$BD = BC$，$AE = AC$，则$\angle DCE$的度数为______45°。

答案： 45°　解析:设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°−∠ACE=90°−x−y。
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE=x+y。
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=90°−y。在△DCE中，
∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，
∴x+(90°−y)+(x+y)=180°，解得x=45°，
∴∠DCE=45°。

4. 已知，在$\triangle ABC$中，点$D$在$BC$上，点$E$在$BC$的延长线上，且$BD = BA$，$CE = CA$。
(1) 如图①，若$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle B = 45^{\circ}$，试求$\angle DAE$的度数；
(2) 若$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，则$\angle DAE$的度数为______45°；
(3) 如图②，若$\angle BAC ＞ 90^{\circ}$，探究$\angle DAE$与$\angle BAC$之间有怎样的数量关系。

答案：
(1)
∵∠BAC=90°，∠B=45°，
∴∠ACB=45°。
∵CE=AC，
∴∠CAE=∠E。
∵∠ACB=∠CAE+∠E=45°，
∴∠E=22.5°。
∵AB=DB，
∴∠ADB=1/2×(180°−45°)=67.5°，
∴∠DAE=∠ADB−∠E=45°。
(2)45°　解析:
∵∠BAC=90°，∠B=60°，
∴∠ACB=30°。
∵CE=AC，
∴∠CAE=∠E。
∵∠ACB=∠CAE+∠E=30°，
∴∠E=15°。
∵AB=DB，
∴∠ADB=1/2×(180°−60°)=60°，
∴∠DAE=∠ADB−∠E=45°。故答案为45°。
(3)设∠BAC=α，∠B=β，
∴∠ACB=180°−α−β。
∵CE=AC，
∴∠CAE=∠E。
∵∠ACB=∠CAE+∠E=180°−α−β，
∴∠E=90°−1/2α−1/2β。
∵AB=DB，
∴∠ADB=1/2(180°−β)=90°−1/2β，
∴∠DAE=∠ADB−∠E=90°−1/2β-(90°−1/2α−1/2β)=1/2α，
∴∠BAC=2∠DAE。

5. (黔南州中考)已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（D）
A. 9
B. 17或22
C. 17
D. 22

答案： D

6. 在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AB$的垂直平分线与$AC$所在直线相交所得的锐角为$50^{\circ}$，则$\triangle ABC$的底角$\angle B =$______。

答案：
70°或20°　解析:符合题意的图形有两种:
(1)如图①，当△ABC为锐角三角形时，交点D在腰AC上。由题意可得∠ADE=50°，故∠A=40°，
∴∠B=∠C=1/2×(180°−40°)=70°。
(2)如图②，当△ABC为钝角三角形时，交点D在腰CA的延长线上。由题意可得∠ADE=50°，故∠BAC=∠ADE+∠AED=140°，
∴∠B=∠C=1/2×(180°−140°)=20°。综上所述，∠B=70°或20°。
　　　 　　

7. 在$\triangle ABC$中，$D$，$E$是边$BC$上的两点，$DC = DA$，$EA = EB$，$\angle DAE = 40^{\circ}$，则$\angle BAC$的度数是______。

答案：
70°或110°　解析:如图①，易得∠EAB=∠B，∠DAC=∠C，∠EAB+∠B+∠DAC+∠C+∠DAE=180°，
∴2(∠B+∠C)=140°，
∴∠B+∠C=70°，
∴∠BAC=110°。如图②，易得∠EAB=∠B，∠DAC=∠C，∠EAB+∠B+∠DAC+∠C−∠DAE=180°，
∴2(∠B+∠C)=220°，
∴∠B+∠C=110°，
∴∠BAC=70°。综上所述，∠BAC的度数是70°或110°。
　　　　　 　　　

8. 已知等腰三角形中，有一个角比另一个角的2倍少$20^{\circ}$，则顶角度数为44°或80°或140°。

答案： 44°或80°或140°　解析:设一个角是x，表示出另一个角是2x−20°。①当x是顶角，2x−20°是底角时，x+2(2x−20°)=180°，解得x=44°，顶角是44°；②当x是底角，2x−20°是顶角时，2x+2x−20°=180°，解得x=50°，顶角是2×50°−20°=80°；③当x与2x−20°都是底角时，x=2x−20°，解得x=20°，顶角是180°−20°×2=140°。综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°。

9. 如图，在平面直角坐标系中，已知$A(2,2)$，$B(4,0)$。若在坐标轴上取点$C$，使$\triangle ABC$为等腰三角形，则满足条件的点$C$有______个。

答案：
5　解析:如图，①若AC=AB，以A为圆心，AB长为半径画弧，与x轴有2个交点(含B点)，即(0,0)，(4,0)，
∴满足△ABC是等腰三角形的点C有1个；②若BC=AB，以B为圆心，BA长为半径画弧，与x轴有2个交点，即满足△ABC是等腰三角形的点C有2个；③若CA=CB，作AB的垂直平分线，与x轴，y轴各有1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的点C有2个。综上所述，满足条件的点C共有5个。
　　　　　　　　

10. 如果过等腰三角形的一个顶点的直线将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，那么这个等腰三角形的顶角度数为______。

答案：
36°或90°或108°或180°/7　解析:如图①，在△ABC中，AB=AC，BD=AD=BC。
∵AB=AC，BD=AD=BC，
∴∠ABC=∠C，∠A=∠ABD，∠BDC=∠C。又
∵∠BDC=2∠A，
∴∠C=2∠A=∠ABC。又
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴5∠A=180°，
∴∠A=36°。
　　 如图②，在△ABC中，AB=AC，BD=AD=CD。
∵AB=AC，BD=AD=CD，
∴∠B=∠C=∠DAC=∠DAB，
∴∠BAC=2∠B。又
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴4∠B=180°，
∴∠B=45°，
∴∠BAC=90°。如图③，在△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD。
∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠ADC。又
∵∠CDA=2∠B，
∴∠CAB=3∠B。又
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠BAC=108°。如图④，在△ABC中，AB=AC，BD=AD，CD=BC，设∠A=x，
∵AD=BD，
∴∠DBA=x。又
∵AB=AC，
∴∠C=1/2(180°−x)。又
∵CD=BC，
∴∠BDC=∠DBC，即2x=1/2(180°−x)−x，解得x=180°/7，
∴∠A=180°/7。综上所述，等腰三角形的顶角可以是36°或90°或108°或180°/7。

11. (2023·泰州中考)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle A = 30^{\circ}$，射线$CP$从射线$CA$开始绕点$C$逆时针旋转$\alpha$角$(0^{\circ} ＜ \alpha ＜ 75^{\circ})$，与射线$AB$相交于点$D$，将$\triangle ACD$沿射线$CP$翻折至$\triangle A'CD$处，射线$CA'$与射线$AB$相交于点$E$。若$\triangle A'DE$是等腰三角形，则$\angle \alpha$的度数为______。

答案：
22.5°或45°或67.5°　解析:由折叠的性质知∠A=∠A'=30°，∠ACP=∠A'CP=α，当A'D=DE时，如图①，∠DEA'=∠A'=30°，∠ACP=∠A'CP=α，由三角形的外角性质得∠DEA'=∠A+∠ACD+∠A'CD，即30°=30°+2α，此情况不存在。
　　　　　　 　
当A'D=A'E时，如图②，∠A'=30°，∠DEA'=∠EDA'=1/2×(180°−30°)=75°，由三角形的外角性质得75°=30°+2α，解得α=22.5°；当EA'=DE时，如图③，∠EDA'=∠A'=30°，
∴∠DEA'=180°−30°−30°=120°，由三角形的外角性质得120°=30°+2α，解得α=45°。
　　 　　
当A'D=A'E时，如图④，∠A'DE=∠A'ED=15°，
∴∠ADC=∠A'DC=1/2×(180°−15°)=82.5°，
∴α=∠ACD=180°−30°−82.5°=67.5°。综上，∠α的度数为22.5°或45°或67.5°。