《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

1. 利用乘法公式判断,下列等式成立的是 (C)
A. $ 248 ^ { 2 } + 248 \times 52 + 52 ^ { 2 } = 300 ^ { 2 } $
B. $ 248 ^ { 2 } - 248 \times 48 - 48 ^ { 2 } = 200 ^ { 2 } $
C. $ 248 ^ { 2 } + 2 \times 248 \times 52 + 52 ^ { 2 } = 300 ^ { 2 } $
D. $ 248 ^ { 2 } - 2 \times 248 \times 48 - 48 ^ { 2 } = 200 ^ { 2 } $

答案： C

2. 下列变形正确的是 (A)
A. $ x - y + z = x - ( y - z ) $
B. $ x - y - z = x + ( y - z ) $
C. $ x + y - z = x + ( y + z ) $
D. $ x + y + z = x - ( - y + z ) $

答案： A

3. 添括号:
(1) $ - 2 x ^ { 2 } + 3 x - 4 = - ($$2x^{2}-3x+4$$)$;
(2) $ 1 - a ^ { 2 } + 2 a b - b ^ { 2 } = 1 - ($$a^{2}-2ab+b^{2}$$)$;
(3) $ x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + x - 1 = - ($$-x^{3}+x^{2}$$) + ( x - 1 ) $.

答案：
(1)$2x^{2}-3x+4$
(2)$a^{2}-2ab+b^{2}$
(3)$-x^{3}+x^{2}$

4. 计算:
(1) $ ( x + 2 y - 3 ) ( x - 2 y + 3 ) $;
(2) $ ( 2 x - y + z ) ^ { 2 } $.

答案：
(1)原式$=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]$
$=x^{2}-(2y-3)^{2}=x^{2}-(4y^{2}-12y+9)$
$=x^{2}-4y^{2}+12y-9$
(2)原式$=[(2x-y)+z]^{2}$
$=(2x-y)^{2}+2z(2x-y)+z^{2}$
$=4x^{2}-4xy+y^{2}+4xz-2yz+z^{2}$

5. 先化简,再求值:
(1) $ ( 3 x - y ) ^ { 2 } - ( 2 y - x ) ( - x - 2 y ) $,其中 $ x = - \frac { 1 } { 2 } $, $ y = 1 $;
原式$=9x^{2}-6xy+y^{2}-(x^{2}-4y^{2})$
$=9x^{2}-6xy+y^{2}-x^{2}+4y^{2}$
$=8x^{2}-6xy+5y^{2}$，当$x=-\frac {1}{2},y=1$时，原式$=8×(-\frac {1}{2})^{2}-6×(-\frac {1}{2})×1+5×1^{2}=8×\frac {1}{4}+3+5=$10
(2) $ ( 2 a - 1 ) ^ { 2 } + 6 a ( a + 1 ) - ( 3 a + 2 ) ( 3 a - 2 ) $,其中 $ a ^ { 2 } + 2 a - 2 025 = 0 $.
原式$=(4a^{2}-4a+1)+(6a^{2}+6a)-(9a^{2}-4)$
$=4a^{2}-4a+1+6a^{2}+6a-9a^{2}+4$
$=a^{2}+2a+5$，因为$a^{2}+2a-2025=0$，所以$a^{2}+2a=2025$，所以原式$=2025+5=$2030

答案：
(1)原式$=9x^{2}-6xy+y^{2}-(x^{2}-4y^{2})$
$=9x^{2}-6xy+y^{2}-x^{2}+4y^{2}$
$=8x^{2}-6xy+5y^{2}$，当$x=-\frac {1}{2},y=1$时，原式$=8×(-\frac {1}{2})^{2}-6×(-\frac {1}{2})×1+5×1^{2}=8×\frac {1}{4}+3+5=10$
(2)原式$=(4a^{2}-4a+1)+(6a^{2}+6a)-(9a^{2}-4)$
$=4a^{2}-4a+1+6a^{2}+6a-9a^{2}+4$
$=a^{2}+2a+5$，因为$a^{2}+2a-2025=0$，所以$a^{2}+2a=2025$，所以原式$=2025+5=2030$

6. (2025·郴州月考)阅读材料:如果一个数的平方等于-1,记为 $ \mathrm { i } ^ { 2 } = - 1 $,这个数 $ \mathrm { i } $ 叫作虚数单位,那么形如复数 $ a + b \mathrm { i } $ ($ a , b $ 为实数), $ a $ 叫作这个复数的实部, $ b $ 叫作这个复数的虚部.
它有如下特点:
①它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.
$ ( 2 + \mathrm { i } ) + ( 3 - 4 \mathrm { i } ) = ( 2 + 3 ) + ( 1 - 4 ) \mathrm { i } = 5 - 3 \mathrm { i } $;
$ ( 3 + \mathrm { i } ) \mathrm { i } = 3 \mathrm { i } + \mathrm { i } ^ { 2 } = 3 \mathrm { i } - 1 $.
②若两个复数,它们的实部和虚部分别相等,则称这两个复数相等;实部相等,虚部互为相反数,则称这两个复数共轭.
(1) 填空: ① $ ( 2 + \mathrm { i } ) ( 2 - \mathrm { i } ) = $5; ② $ ( 2 + \mathrm { i } ) ^ { 2 } = $3+4i.
(2) 若 $ a + b \mathrm { i } $ 是 $ ( 1 + 2 \mathrm { i } ) ^ { 2 } $ 的共轭复数,求 $ ( b - a ) ^ { 2 } $ 的值.1
(3) 已知 $ ( a + \mathrm { i } ) ( b + \mathrm { i } ) = 1 - 3 \mathrm { i } $,求 $ ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) ( \mathrm { i } + \mathrm { i } ^ { 2 } + \mathrm { i } ^ { 3 } + \mathrm { i } ^ { 4 } + \cdots + \mathrm { i } ^ { 2 025 } ) $ 的值.5i

答案：
(1)①5 解析：原式$=4-i^{2}=4+1=5$
②$3+4i$ 解析：原式$=4+4i+i^{2}=4+4i-1=3+4i$
(2)$\because (1+2i)^{2}=1+4i+4i^{2}=1+4i-4=-3+4i,a+bi$是$(1+2i)^{2}$的共轭复数，$\therefore a=-3,b=-4,\therefore (b-a)^{2}=(-4+3)^{2}=(-1)^{2}=1$
(3)由条件可知：$ab+(a+b)i-1=-3i$，即$ab-1+(a+b)i=-3i,\therefore ab-1=1,ab=2,a+b=-3,\therefore a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=(-3)^{2}-2×2=9-2×2=5,\because i^{2}+i^{3}+i^{4}+i^{5}=-1-i+1+i=0,i^{2}+i^{3}+i^{4}+... +i^{2025}$有2024个加数，$2024÷4=506,\therefore i^{2}+i^{3}+i^{4}+... +i^{2025}=0$，则$i+i^{2}+i^{3}+i^{4}+... +i^{2025}=i,\therefore (a^{2}+b^{2})(i+i^{2}+i^{3}+i^{4}+... +i^{2025})=5×i=5i$