《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

9. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$D$，$E$是$\triangle ABC$内两点，$AD$平分$\angle BAC$，$\angle EBC=\angle E=60^{\circ}$，若$BE=6cm$，$DE=2cm$，则$BC$长为( )

A. 7 cm
B. 8 cm
C. 8.5 cm
D. 10 cm

答案：
B　解析：如图，延长ED交BC于M，延长AD交BC于N。
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN。
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM为等边三角形。
∵BE=6cm，DE=2cm，
∴DM=4cm。
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB=60°。
∵AN⊥BC，
∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=30°，
∴NM=2cm，
∴BN=4cm，
∴BC=2BN=8cm，故选B。

10. (2024·新疆中考)如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle A=30^{\circ}$，$AB=8$.若点$D$在直线$AB$上(不与点$A$，$B$重合)，且$\angle BCD=30^{\circ}$，则$AD$的长为______.

答案：
6或12　解析：
∵∠C=90°，∠A=30°，AB=8，
∴∠B=60°，BC= $\frac{1}{2}$AB=4。
①如图①，点D在线段AB上时，
∵∠BCD=30°，∠B=60°，
∴∠BDC=90°，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴AD=AB−BD=6；
②如图②，点D在线段AB延长线上时，
∵∠BCD=30°，∠ABC=60°，
∴∠D=∠ABC−∠BCD=30°=∠BCD，
∴BC=BD=4，
∴AD=AB+BD=12；
③如图③，点D在线段BA延长线上时，此时∠BCD＞∠ACB，即∠BCD＞90°，故不符合题意，舍去。综上，AD的长为6或12。

11. 如图，$\triangle ABC$中，$AB=BC$，$\angle ABC=120^{\circ}$，$E$是线段$AC$上一点，连接$BE$并延长至$D$，连接$CD$，若$\angle BCD=120^{\circ}$，$AB=2CD$，$AE=7$，则线段$CE$的长为$\frac{7}{3}$.

答案： $\frac{7}{3}$　解析：作BM⊥AC，垂足为M，
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠ACB=30°，AM=CM，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB。
∵AB=2CD，
∴BM=CD。
∵∠DCB=120°，
∴∠DCE=∠DCB−∠ACB=90°，
∴∠BMC=∠DCE=90°。证得△MEB≌△CED，
∴ME=CE。设CE=x，则ME=x，AM=AE−ME=7−x，
∴7−x=2x，
∴x=$\frac{7}{3}$，
∴线段CE的长为$\frac{7}{3}$。

12. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$\angle B=30^{\circ}$，$BC=3$，$D$是$BC$边上一动点(不与点$B$，$C$重合)，过点$D$作$DE\perp BC$，交$AB$边于点$E$，将$\angle B$沿直线$DE$翻折，点$B$落在射线$BC$上的点$F$处.当$\triangle AEF$为直角三角形时，求$BD$的长.

答案：
由题意，得BD=DF=$\frac{1}{2}$BF，∠EFB=∠B=30°，
∴∠AEF=∠B+∠EFB=60°。如图①，当∠AFE=90°时，∠FAB=90°−∠AEF=30°，
∴∠FAB=∠B，
∴AF=BF。
∵∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠FAC=∠BAC−∠BAF=30°。在Rt△FAC中，FC=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{3}$BC=1，
∴BF=BC−FC=2，
∴BD=$\frac{1}{2}$BF=1。


如图②，当∠EAF=90°时，∠FAC=90°−∠BAC=∠B=30°，
∴在Rt△FAC中，FC=$\frac{1}{2}$AF。在Rt△BAF中，FA=$\frac{1}{2}$BF，
∴CF=$\frac{1}{4}$BF=$\frac{1}{3}$BC=1，
∴BF=BC+CF=4，
∴BD=$\frac{1}{2}$BF=2。综上所述，BD的长为1或2。

13. (2025·河南校级月考)在$\triangle ABC$中，$\angle B=60^{\circ}$，$D$是边$AB$上的动点，过点$D$作$DE// BC$交$AC$于点$E$，将$\triangle ADE$沿$DE$折叠，点$A$的对应点为点$F$.
(1)如图①，若点$F$恰好落在边$BC$上，判断$\triangle BDF$的形状，并证明;
(2)如图②，若点$F$落在$\triangle ABC$内，且$DF$的延长线恰好经过点$C$，$CF=EF$，求$\angle A$的度数;
(3)如图③，当点$F$恰好落在$\triangle ABC$外，$DF$交$BC$于点$G$，连接$BF$，若$BF\perp AB$，$AB=9$，在$\triangle BDF$中，动点$P$以每秒1个单位长度的速度从点$B$出发沿边$BD$向点$D$运动，同时动点$Q$以每秒2个单位长度的速度从点$D$出发沿边$DF$向点$F$运动，当动点$P$运动到点$D$时，动点$Q$停止运动.设运动时间为$t$秒，请直接写出当$\triangle DPQ$为直角三角形时$t$的值.

答案：

(1)△BDF是等边三角形，证明如下：
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B=60°，∠EDF=∠BFD。由折叠可知，∠EDF=∠ADE=60°，
∴∠BFD=60°，
∴∠BDF=180°−∠B−∠BFD=60°，
∴△BDF是等边三角形。
(2)同
(1)可得∠ADE=∠EDF=60°，
∴∠ADF=120°，
∴∠A+∠DCA=180°−∠ADC=60°。由折叠可知，∠DFE=∠A。
∵CF=EF，
∴∠ACD=∠CEF。
∵∠DFE=∠ACD+∠CEF=2∠ACD，
∴∠A=2∠ACD，
∴∠A+ $\frac{1}{2}$∠A=60°，
∴∠A=40°。
(3)t=$\frac{3}{2}$或t=$\frac{3}{5}$。解析：同
(2)可知∠ADF=120°，
∴∠BDF=60°。
∵BF⊥AB，
∴∠BFD=30°，
∴DF=2BD。由折叠可知，AD=DF=2BD，
∴AD+BD=3BD=AB=9，
∴BD=3，
∴DF=2BD=2×3=6。由题意得BP=t，DQ=2t，则DP=BD−BP=3−t，
∴当点P运动到点D时，点Q恰好运动到点F，当△DPQ为直角三角形时，∠DPQ=90°或∠DQP=90°。
①如图①，当∠DPQ=90°时，
∵∠BDF=60°，
∴∠PQD=30°，
∴DQ=2DP，
∴2t=2(3−t)，解得t=$\frac{3}{2}$；
②如图②，当∠DQP=90°时，则∠DPQ=30°，
∴DP=2DQ，
∴3−t=2·2t，解得t=$\frac{3}{5}$。综上t=$\frac{3}{2}$或t=$\frac{3}{5}$。