《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

6. 原创题 如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,∠BCD=135°,AB=10,CD=4,则S四边形ABCD=42.

答案： 42 解析:延长AD,BC交于点E,
∵∠ABC=∠ADC=90°,∠BCD=135°,
∴∠BAE=45°,∠DCE=45°,
∴△ABE和△CDE均为等腰直角三角形.
∵AB=10,CD=4,
∴S_{四边形ABCD}=S_{△ABE}-S_{△CDE}=$\frac{1}{2}$×10²-$\frac{1}{2}$×4²=42.

7. 已知△ABC中,AB=AC,BE平分∠ABC交边AC于点E.
(1)如图①,当∠BAC=108°时,证明:BC=AB+CE.
(2)如图②,当∠BAC=100°时,(1)中的结论还成立吗?若不成立,是否有其他两条线段之和等于BC?若有,请写出结论并完成证明.

答案：

(1)如图①,在BC上截取BD=BA.
∵BA=BD,∠EBA=∠EBD,BE=BE,
∴△BEA≌△BED(SAS),∠A=∠BDE=108°,
∴∠CDE=72°.
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC=36°,
∴∠CED=72°,
∴CE=CD,
∴BC=BD+CD=AB+CE.
　　　
(2)不成立,有其他两条线段之和等于BC.结论:BC=BE+AE.理由:如图②,在BC上截取BF=BE,延长BA至点H,使BH=BE,连接HE,连接EF,则△EBH≌△EBF,
∴∠BEH=∠BEF.
∵∠BAC=100°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=40°,
∴∠EBA=∠EBC=20°,
∴∠H=∠EAH=80°,
∴AE=EH.
∵∠BFE=∠C+∠FEC,
∴∠CEF=∠C=40°,
∴EF=CF,
∴BC=BF+CF=BE+AE.

8. 如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,连接AD,若∠B=2∠CAD,AB=8,CD=2,则BC的长为______.

答案：
6 解析:如图,作∠CAE=∠CAD,AE交BC的延长线于点E,
∵∠ACB=90°,
∴AE=AD,EC=CD=2,
∴∠E=∠ADE.

∵∠B=2∠CAD,
∴∠EAD=∠B.
∵∠ADE=∠B+∠DAB,∠EAB=∠EAD+∠DAB,
∴∠ADE=∠EAB,
∴∠E=∠EAB,
∴BE=BA=8,
∴BC=BE−CE=6.
归纳总结
利用倍角关系构造等腰三角形:
已知在△ABC中,∠ACB=$\frac{1}{2}$∠ABC.
(1)如图①,作∠ABC的平分线BD,则可构造等腰△BDC;
(2)如图②,作∠BCE=2∠ACB,CE交BA的延长线于点E,则可构造等腰△BCE;
(3)如图③,延长CB至点D,使BD=AB,则可构造等腰△ABD和等腰△ADC;
(4)如图④,作∠BCE=∠ACB,交AB的延长线于点E,则可构造等腰△BCE.

9. 如图,AD平分∠BAC,∠ABC=3∠C,BE⊥AD,垂足为E,AB=8,BE=2.5,则AC=13.

答案： 13 解析:延长BE交AC于点F,
∵BE⊥AD,
∴∠AEB=∠AEF.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAE=∠FAE.在△ABE和△AFE中,∠AEB=∠AEF,AE=AE,∠BAE=∠FAE,
∴△ABE≌△AFE(ASA),
∴∠ABF=∠AFB,AB=AF=8,BE=EF=2.5,
∴BF=5.
∵∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF,∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C,
∴∠C+2∠CBF=3∠C,
∴∠CBF=∠C,
∴BF=CF=5,
∴AC=AF+CF=8+5=13.

10. 如图,已知E为△ABC内部一点,AE的延长线交边BC于点D,连接BE,CE,∠BED=∠BAC=2∠DEC.若AC=AB,求证:BE=2AE.

答案： 在EB上截取EF=AE,连接AF,设∠BED=2α,
∴∠FAE=∠AFE=∠DEC=α,
∴∠AEC=2α.
∵∠CAD+∠BAD=∠BAC=2α,∠ABE+∠BAD=∠BED=2α,
∴∠CAE=∠ABF.在△CAE和△ABF中,∠AEC=∠BFA,∠CAE=∠ABF,AB=AC,
∴△CAE≌△ABF(AAS),
∴BF=AE=EF,
∴BE=2AE.

11. 一题多解 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=20°,D为AC上一点,∠DBC=60°,E为AB上一点,∠ECB=50°,求∠EDB的度数.

答案：

∵AB=AC,∠A=20°,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=$\frac{1}{2}$×(180°-20°)=80°.如图①,过点B作BF交AC于点F,使BF=BC,连接EF.
∵∠ECB=50°,
∴∠BEC=180°-80°-50°=50°,
∴∠BEC=∠ECB,
∴BC=BE.又
∵∠CBF=180°-2∠ACB=180°-2×80°=20°,
∴∠EBF=∠ABC-∠CBF=80°-20°=60°,
∴△BEF是等边三角形,
∴∠EFB=60°,BF=EF,
∴∠EFD=180°-∠EFB-∠CFB=180°-60°-80°=40°.
∵∠DBC=60°,
∴∠DBF=∠DBC-∠CBF=60°-20°=40°,∠BDC=180°-∠DBC-∠ACB=180°-60°-80°=40°,
∴∠DBF=∠BDC,
∴BF=DF,
∴EF=DF,
∴∠EDF=$\frac{1}{2}$(180°-∠EFD)=$\frac{1}{2}$×(180°-40°)=70°,
∴∠EDB=∠EDF-∠BDF=70°-40°=30°.

一题多解
如图②,过点D作BC的平行线交AB于点F,连接FC交BD于点G,连接EG,易得△GBC与△DGF都是等边三角形,可知FD=DG,GB=CB,易知BE=BC,可得BE=BG.在△GBE中,可知∠EGB=80°,∠EGF=40°=∠EFG,于是EG=EF.由EG=EF,FD=DG,可知ED是FG的垂直平分线,
∴∠EDB=$\frac{1}{2}$∠BDF=30°.

知识拓展
兰利问题(汤普森问题):该问题于1922年由英国数学家兰利提出,1951年华盛顿大学的汤普森教授给出了解法,故称兰利问题或汤普森问题.该问题发展至今已经有了几十种解法,这类特殊角度的平面几何构造,后来又被称为角格点问题,号称最难的初中几何.