《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

20.（9分）观察以下等式：
$ (x + 1)(x^{2} - x + 1) = x^{3} + 1 $，
$ (x + 3)(x^{2} - 3x + 9) = x^{3} + 27 $，
$ (x + 6)(x^{2} - 6x + 36) = x^{3} + 216 $，
……
（1）按以上等式的规律填空：$ (a + b) \cdot $（$a^{2}-ab + b^{2}$）$ = a^{3} + b^{3} $；
（2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立；
（3）利用（1）中的公式化简：$ (x + y)(x^{2} - xy + y^{2}) - (x - y)(x^{2} + xy + y^{2}) $.

答案：
(1) $a^{2}-ab + b^{2}$
(2) $(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})=a^{3}-a^{2}b + ab^{2}+a^{2}b - ab^{2}+b^{3}=a^{3}+b^{3}$。
(3) $(x + y)(x^{2}-xy + y^{2})-(x - y)(x^{2}+xy + y^{2})=x^{3}+y^{3}-(x^{3}-y^{3})=2y^{3}$。

21.（10分）（2025·四平期末）【阅读理解】
题目：若 $ (10 - x)(x - 5) = 2 $，求 $ (10 - x)^{2} + (x - 5)^{2} $ 的值.
解：观察发现，$ 10 - x $ 与 $ x - 5 $ 中的 $ -x $ 与 $ x $ 互为相反数，
∴ 我们不妨设 $ a = 10 - x,b = x - 5 $.
∵ $ (10 - x)(x - 5) = 2 $，∴ $ ab = 2 $.
∵ $ (10 - x) + (x - 5) = 5 $，∴ $ a + b = (10 - x) + (x - 5) = 5 $，
∴ $ (10 - x)^{2} + (x - 5)^{2} = a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab = 5^{2} - 2 × 2 = 21 $.
我们把这种方法叫作换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想.
【理解应用】
（1）若 $ (8 - x)(x - 3) = 3 $，则 $ (8 - x)^{2} + (x - 3)^{2} = $______19.
（2）若 $ x $ 满足 $ (2025 - x)^{2} + (x - 2024)^{2} = 13 $，求 $ (2025 - x)(x - 2024) $ 的值.
【拓展应用】
如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle ABC = 90^{\circ},BC = 12 $，点 $ D $ 是边 $ BC $ 上的点，在边 $ AB $ 上取一点 $ E $，使 $ AE = CD $，设 $ AE = x(x ＞ 0) $. 分别以 $ AB,BD $ 为边在 $ \triangle ABC $ 外部作正方形 $ ABFG $ 和正方形 $ BDMN $，连接 $ AD $. 若 $ BE = 4,\triangle ABD $ 的面积为10，直接写出正方形 $ ABFG $ 和正方形 $ BDMN $ 的面积和.
216

答案： 【理解应用】
(1) 19 解析：设$8 - x=a$，$x - 3=b$，则$ab=3$，$a + b=8 - x+x - 3=5$，$\therefore (8 - x)^{2}+(x - 3)^{2}=a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，$\therefore (8 - x)^{2}+(x - 3)^{2}=5^{2}-2×3=25 - 6=19$。
(2) 设$2025 - x=m$，$x - 2024=n$，则$m + n=2025 - x+x - 2024=1$。$\because (2025 - x)^{2}+(x - 2024)^{2}=13$，$\therefore m^{2}+n^{2}=13$，$\therefore m^{2}+2mn + n^{2}-2mn=13$，$\therefore (m + n)^{2}-2mn=13$，$\therefore 1 - 2mn=13$，解得$mn=-6$，$\therefore (2025 - x)(x - 2024)=-6$。
【拓展应用】216. 解析：$\because BC=12$，$BE=4$，$AE=CD=x$，$BD=12 - x$，$AB=4 + x$，$S_{\triangle ABD}=10$，$\therefore \frac{1}{2}AB·BD=10$，$\therefore (12 - x)(4 + x)=20$。设$12 - x=p$，$4 + x=q$，则$pq=20$，$p + q=12 - x+4 + x=16$。$\because S_{正方形ABFG}+S_{正方形BDMN}=AB^{2}+BD^{2}=(4 + x)^{2}+(12 - x)^{2}$，$\therefore S_{正方形ABFG}+S_{正方形BDMN}=q^{2}+p^{2}=p^{2}+2pq+q^{2}-2pq=(p + q)^{2}-2pq=16^{2}-2×20=216$。