《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

9. 改编题 整式乘法与因式分解是方向相反的变形。$(ax + b)(cx + d)=acx^{2}+(ad + bc)x + bd$。反过来写可得$acx^{2}+(ad + bc)x + bd=(ax + b)(cx + d)$。如图①，先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，使其代数和等于一次项系数。像这种借助画十字交叉图分解因式的方法，叫作“十字相乘法”。
例：将式子$x^{2}+3x + 2$和$2x^{2}+x - 3$分解因式。
如图②，$x^{2}+3x + 2=(x + 1)(x + 2)$；
如图③，$2x^{2}+x - 3=(x - 1)(2x + 3)$。

请仿照上述方法，对下列多项式分解因式。
(1)$2x^{2}+5x - 7$=$(x-1)(2x+7)$；
(2)$6x^{2}-7xy + 2y^{2}$=$(2x-y)(3x-2y)$；
(3)$2(2a^{2}+1)^{2}-3(2a^{2}+1)-9$=$2(4a^{2}+5)(a+1)(a-1)$；
(4)$3a^{3}(1 - 2a)+a(2a - 1)^{2}+2a(2a - 1)$=$a(1-2a)(a-1)(3a+1)$.

答案：
(1)$2x^{2}+5x-7=(x-1)(2x+7)$.
(2)$6x^{2}-7xy-2y^{2}=(2x-y)(3x-2y)$.
(3)$2(2a^{2}+1)^{2}-3(2a^{2}+1)-9=[2(2a^{2}+1)+3][(2a^{2}+1)-3]=(4a^{2}+5)(2a^{2}-2)=2(4a^{2}+5)(a+1)(a-1)$.
(4)$3a^{3}(1-2a)+a(2a-1)^{2}+2a(2a-1)=3a^{3}(1-2a)+a(1-2a)^{2}-2a(1-2a)=a(1-2a)\cdot (3a^{2}+1-2a-2)=a(1-2a)(a-1)(3a+1)$.

10. 改编题 阅读下列材料：
对于多项式$x^{2}+x - 2$，如果我们把$x = 1$代入此多项式，发现$x^{2}+x - 2$的值为0，这时可以确定多项式中有因式$(x - 1)$；同理，可以确定多项式中有另一个因式$(x + 2)$。于是我们可以得到$x^{2}+x - 2=(x - 1)(x + 2)$。
又如：对于多项式$2x^{2}-3x - 2$，发现当$x = 2$时，$2x^{2}-3x - 2$的值为0，则多项式$2x^{2}-3x - 2$有因式$(x - 2)$，我们可以设$2x^{2}-3x - 2=(x - 2)(mx + n)$，解得$m = 2$，$n = 1$，于是我们可以得到$2x^{2}-3x - 2=(x - 2)(2x + 1)$。
以上这种因式分解的方法叫试根法。请你根据材料，解答以下问题：
(1)当$x = 1$时，多项式$6x^{2}-x - 5$的值为0，所以多项式$6x^{2}-x - 5$有因式$(x-1)$，从而分解因式$6x^{2}-x - 5=$$(x-1)(6x+5)$。
(2)用试根法分解因式：
①$2x^{2}+5x + 3$；
当$x=-1$时,$2x^{2}+5x+3=0,\therefore 2x^{2}+5x+3=(x+1)(2x+3)$
②$3x^{2}+11x + 10$；
当$x=-2$时,$3x^{2}+11x+10=0,\therefore 3x^{2}+11x+10=(x+2)(3x+5)$
③$-x^{3}+7x - 6$。
当$x=1$时,$-x^{3}+7x-6=0,\therefore -x^{3}+7x-6=(1-x)(x-2)(x+3)$
(3)已知$x^{2}+2x + 1$是多项式$x^{3}-x^{2}+ax + b$的一个因式，求$a$，$b$的值，并将该多项式因式分解。
设$x^{3}-x^{2}+ax+b=(x^{2}+2x+1)(x+m)$,则$x^{3}-x^{2}+ax+b=x^{3}+(m+2)x^{2}+(2m+1)x+m$,所以$m+2=-1,2m+1=a,m=b$,解得$a=-5,b=-3,m=-3$.所以$x^{3}-x^{2}-5x-3=(x^{2}+2x+1)(x-3)=(x+1)^{2}(x-3)$
(4)分解因式$(x - 2)^{3}-(y - 2)^{3}-(x - y)^{3}$。
当$x=y=2$时,$(x-2)^{3}-(y-2)^{3}-(x-y)^{3}=0,\therefore (x-2)^{3}-(y-2)^{3}-(x-y)^{3}=3(x-2)(y-2)(x-y)$

答案：
(1)0 $(x-1)$ $(x-1)(6x+5)$
(2)①当$x=-1$时,$2x^{2}+5x+3=0,\therefore 2x^{2}+5x+3=(x+1)(2x+3)$.
②当$x=-2$时,$3x^{2}+11x+10=0,\therefore 3x^{2}+11x+10=(x+2)(3x+5)$.
③当$x=1$时,$-x^{3}+7x-6=0,\therefore -x^{3}+7x-6=(1-x)(x-2)(x+3)$.
(3)设$x^{3}-x^{2}+ax+b=(x^{2}+2x+1)(x+m)$,则$x^{3}-x^{2}+ax+b=x^{3}+(m+2)x^{2}+(2m+1)x+m$,所以$m+2=-1,2m+1=a,m=b$,解得$a=-5,b=-3,m=-3$.所以$x^{3}-x^{2}-5x-3=(x^{2}+2x+1)(x-3)=(x+1)^{2}(x-3)$.
(4)当$x=y=2$时,$(x-2)^{3}-(y-2)^{3}-(x-y)^{3}=0,\therefore (x-2)^{3}-(y-2)^{3}-(x-y)^{3}=3(x-2)(y-2)(x-y)$.