《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

1. 如图，在平面直角坐标系中，对△ABC 进行循环往复的轴对称变换，若原来点 A 的坐标是$(a,b)$，则经过第 2025 次变换后所得的点 A 的坐标是______$(a,-b)$.

答案： $(a,-b)$ 解析:观察题图可知每四次对称为一个循环组依次循环. $\because 2025 \div 4 = 506\cdots\cdots1$，$\therefore$ 经过第 2025 次变换后所得的点 A 与第 1 次变换后的位置相同,为 $(a,-b)$.

2. 教材 P76 习题 T6 变式 如图，小球起始时位于$(3,0)$处，沿箭头所示的方向击球。(假设小球可以一直运动下去)
(1)在图中画出小球运动的轨迹；
(2)当小球第 2025 次碰到球桌边时，求小球的坐标。

答案：

(1) 小球运动的轨迹如图所示
　　　　　　　
(2) 如图,小球第 1 次碰到球桌边时,小球的坐标为 $(1,4)$,第 2 次为 $(0,2)$,第 3 次为 $(1,0)$,第 4 次为 $(3,4)$,第 5 次为 $(5,0)$,第 6 次为 $(7,4)$,第 7 次为 $(8,2)$,第 8 次为 $(7,0)$,第 9 次为 $(5,4)$,第 10 次为 $(3,0)$,第 11 次为 $(1,4)$,$\cdots$,易知每十次为一循环,$2025 \div 10 = 202\cdots\cdots5$,$\therefore$ 当小球第 2025 次碰到球桌边时,小球的坐标为 $(5,0)$.

3. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l 过点$M(3,0)$，且平行于 y 轴。
(1)如果△ABC 三个顶点的坐标分别是$A(-2,0)$，$B(-1,0)$，$C(-1,2)$，△ABC 关于 y 轴的对称图形是△$A_{1}B_{1}C_{1}$，△$A_{1}B_{1}C_{1}$关于直线 l 的对称图形是△$A_{2}B_{2}C_{2}$，写出△$A_{2}B_{2}C_{2}$的三个顶点的坐标；
(2)一个图形连续施行关于两条平行直线的两次轴对称变换后，相当于施行了一次______变换；
(3)如果点 P 的坐标是$(-a,0)$，其中$a＞0$，点 P 关于 y 轴的对称点是$P_{1}$，点$P_{1}$关于直线 l 的对称点是$P_{2}$，求$P_{1}P_{2}$的长；(用含 a 的式子表示)
(4)在(3)的前提下，通过计算判断，$PP_{2}$的长会不会随着点 P 位置的变化而变化？

答案：

(1) $\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$ 的三个顶点的坐标分别是 $A_{2}(4,0)$,$B_{2}(5,0)$,$C_{2}(5,2)$.
(2) 平移
(3) 当 $0 ＜ a \leq 3$ 时,如图 ①,$\because$ 点 P 与点 $P_{1}$ 关于 y 轴对称,$P(-a,0)$,$\therefore P_{1}(a,0)$. 又点 $P_{1}$ 与点 $P_{2}$ 关于直线 $l:x = 3$ 对称,设 $P_{2}(x,0)$,可得 $\frac{x + a}{2} = 3$,即 $x = 6 - a$,$\therefore P_{2}(6 - a,0)$,则 $P_{1}P_{2} = 6 - a - a = 6 - 2a$; 当 $a ＞ 3$ 时,如图 ②,$\because$ 点 P 与点 $P_{1}$ 关于 y 轴对称,$P(-a,0)$,$\therefore P_{1}(a,0)$.
又点 $P_{1}$ 与点 $P_{2}$ 关于直线 $l:x = 3$ 对称,设 $P_{2}(x,0)$,可得 $\frac{x + a}{2} = 3$,即 $x = 6 - a$,$\therefore P_{2}(6 - a,0)$,则 $P_{1}P_{2} = a - (6 - a) = 2a - 6$.
综上所述,当 $0 ＜ a \leq 3$ 时,$P_{1}P_{2} = 6 - 2a$;
当 $a ＞ 3$ 时,$P_{1}P_{2} = 2a - 6$.
　　　 　
(4) 当 $0 ＜ a \leq 3$ 时,$PP_{2} = PP_{1} + P_{1}P_{2} = 2a + 6 - 2a = 6$. 当 $a ＞ 3$ 时,$PP_{2} = PP_{1} - P_{1}P_{2} = 2a - (2a - 6) = 6$.$\therefore PP_{2}$ 的长不会随点 P 位置的变化而变化.