《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

19.(7分)如图,已知射线OX⊥OY,A,B分别为OX,OY上两动点.在△ABO中,∠OAB的平分线与∠ABY的平分线的反向延长线交于点C,试问:∠C的度数是否随A,B的运动而发生变化?若变化,请说明理由;若不变化,求出∠C的度数.

答案：
不变化.如图,
∵AC平分∠OAB,BD平分∠ABY,
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠OAB,∠3=$\frac{1}{2}$∠ABY;
∵∠ABY=180°−∠2,
∴∠3=$\frac{1}{2}$(180°−∠2)=90°−$\frac{1}{2}$∠2,
∴∠ABC=180°−∠3=180°−(90°−$\frac{1}{2}$∠2)=90°+$\frac{1}{2}$∠2.在△ABC中,∠C=180°−∠1−∠ABC=180°−$\frac{1}{2}$∠OAB−(90°+$\frac{1}{2}$∠2)=90°−$\frac{1}{2}$(∠OAB+∠2)=90°−$\frac{1}{2}$×90°=45°.故∠C的度数为45°.

20.(10分)如图,在平面直角坐标系中,A(0,a),C(3,b),D(-4,0),且BC⊥y轴于点B,a,b满足|a + 1|+$( b - 2 ) ^ { 2 }$= 0.
(1)写出点A,B,C的坐标:A_______(0,−1),B_______(0,2),C_______(3,2);
(2)若∠CBD和∠BDO的平分线交于点E,求∠BED的度数;∵BC⊥y轴,∴∠CB0=90°,由题意知∠BOD=90°,∴∠CBO=∠BOD,∴BC//DO,∴∠CBD+∠BD0=180°.∵∠CBD和∠BDO的平分线交于点E,∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠CBD,∠BDE=$\frac{1}{2}$∠BDO,∴∠DBE+∠BDE=$\frac{1}{2}$(∠CBD+∠BDO)=90°,∴∠BED=90°.
(3)若点F在坐标轴的正半轴上运动,当△ADF的面积等于三角形ABC的面积时,求点F的坐标.∵A(0,−1),B(0,2),C(3,2),D(−4,0),∴OA=1,OD=4,AB=3,BC=3,∴三角形ABC的面积为$\frac{1}{2}$AB·BC=$\frac{9}{2}$.①当点F在x轴的正半轴上时,设点F的坐标是(t,0),则DF=t+4,∴三角形ADF的面积为$\frac{1}{2}$DF·OA=$\frac{1}{2}$(t + 4)，∴$\frac{1}{2}$(t + 4)=$\frac{9}{2}$,解得t=5,∴点F的坐标是(5,0);②当点F在y轴的正半轴上时,设点F的坐标是(0,h),则AF=h+1,三角形ADF的面积为$\frac{1}{2}$AF·OD=$\frac{1}{2}$(h + 1)×4 = 2(h + 1),∴2(h + 1)=$\frac{9}{2}$,解得h=$\frac{5}{4}$,∴点F的坐标是(0,$\frac{5}{4}$).综上所述，点F的坐标是(5,0)或(0,$\frac{5}{4}$).

答案：
(1)(0,−1)　(0,2)　(3,2)
(2)
∵BC⊥y轴,
∴∠CB0=90°,由题意知∠BOD=90°,
∴∠CBO=∠BOD,
∴BC//DO,
∴∠CBD+∠BD0=180°.
∵∠CBD和∠BDO的平分线交于点E,
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠CBD,∠BDE=$\frac{1}{2}$∠BDO,
∴∠DBE+∠BDE=$\frac{1}{2}$(∠CBD+∠BDO)=90°,
∴∠BED=90°.
(3)
∵A(0,−1),B(0,2),C(3,2),D(−4,0),
∴OA=1,OD=4,AB=3,BC=3,
∴三角形ABC的面积为$\frac{1}{2}$AB·BC=$\frac{9}{2}$.①当点F在x轴的正半轴上时,设点F的坐标是(t,0),则DF=t+4,
∴三角形ADF的面积为$\frac{1}{2}$DF·OA=$\frac{1}{2}$(t + 4)，
∴$\frac{1}{2}$(t + 4)=$\frac{9}{2}$,解得t=5,
∴点F的坐标是(5,0);②当点F在y轴的正半轴上时,设点F的坐标是(0,h),则AF=h+1,三角形ADF的面积为$\frac{1}{2}$AF·OD=$\frac{1}{2}$(h + 1)×4 = 2(h + 1),
∴2(h + 1)=$\frac{9}{2}$,解得h=$\frac{5}{4}$,
∴点F的坐标是(0,$\frac{5}{4}$).综上所述，点F的坐标是(5,0)或(0,$\frac{5}{4}$).

21.(12分)阅读下面的内容,并解决后面的问题.
如图①,AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,若∠ABC = 36°,∠ADC = 16°,求∠P的度数.
解:∵AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,
∴∠1 =∠2,∠3 =∠4.
$\left\{ \begin{array} { l } \angle P + \angle 3 = \angle 2 + \angle B , \textcircled { 1 } \\ \angle P + \angle 1 = \angle 4 + \angle D , \textcircled { 2 } \end{array} \right.$
①+②,得$2 \angle P + \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 + \angle B + \angle D ,$∴$\angle P = \frac { 1 } { 2 } ( \angle B + \angle D ) = 2 6 ^ { \circ } .$
(1)如图②,AM平分∠FAD,CP平分∠BCE,若∠ABC = 36°,∠ADC = 16°,则∠P的度数为_______;
(2)如图③,AP平分∠BAD,CP平分∠BCE,猜想∠P与∠B,∠D的关系;
(3)如图④,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E.已知∠D = m°,∠B = n°(m＜n),求∠E的度数.

答案：

(1)26°　解析:如图①,
∵AM平分∠FAD,CP平分∠BCE,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.又
∵∠PAD+∠P=∠PCD+∠D　①,∠PAB+∠P=∠4+∠B　②,∠PAB=∠1,∠1=∠2,
∴∠PAB=∠2,
∴∠2+∠P=∠3+∠B　③,①+③得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D,即2∠P+180°=∠B+∠D+180°,
∴∠P=$\frac{1}{2}$(∠B+∠D)=26°.

(2)∠P=90°+$\frac{1}{2}$(∠B+∠D).如图②,
∵AP平分∠BAD,CP平分∠BCE,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵(∠1+∠2)+∠B=(180°−2∠3)+∠D,∠2+∠P=(180°−∠3)+∠D,
∴2∠P=180°+∠D+∠B,
∴∠P=90°+$\frac{1}{2}$(∠B+∠D).
　　
(3)如图③,延长BC交AD于点F,
∵∠BFD=∠B+∠BAD,
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D.
∵CE平分∠BCD,AE平分∠BAD,
∴∠ECD=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠BCD、∠EAD=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠BAD.
∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB,
∴∠E=∠B+∠EAB−∠ECB=∠B+∠BAE−$\frac{1}{2}$∠BCD=∠B+∠BAE−$\frac{1}{2}$(∠B+∠BAD+∠D)=$\frac{1}{2}$(∠B−∠D).
∵∠D=m°,∠B=n°,
∴∠E=$\frac{1}{2}$(n−m)°.