《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

8. (1)问题背景：
如图①，点A，B在直线l同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小.
作法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P，线段AB'的长度即为AP+BP的最小值.
(2)实践应用：
如图②，在等边三角形ABC中，若E是AB的中点，P为高AD上一点，AD=3，连接BP，求BP+PE的最小值.
(3)拓展延伸1：
如图②，在等边三角形ABC中，若P为高CE上一点，AD=3，求BP+ $\frac{1}{2}$CP的最小值.
(4)拓展延伸2：
如图③，∠AOB=30°，P是四边形OACB内一定点，Q，R分别是OA，OB上的动点，当△PQR周长的最小值为5时，求OP的长.

答案：

(2)
∵ $△ABC$ 是等边三角形,AD 是 BC 边上的高,
∴ 点 B,C 关于 AD 对称,$∠ABC = 60^{\circ}$,
∴ $PB = PC$,
∴ EC 就是 $BP + PE$ 的最小值.
∵ 在等边三角形 ABC 中,E 是 AB 的中点,
∴ $CE⊥AB$,
∴ $CE = AD = 3$,
∴ $BP + PE$ 的最小值为 3.
(3)
∵ CE 为等边三角形 ABC 的高,
∴ CE 平分 $∠ACB$,$BP = AP$,
∴ $∠PCD = \frac{1}{2}∠ACB = 30^{\circ}$,
∴ $DP = \frac{1}{2}CP$,
∴ $BP + \frac{1}{2}CP = AP + DP ≥ AD$,故其最小值为 3.
(4)如图,分别作点 P 关于 OA,OB 的对称点 E,D,连接 ED,分别交 OA,OB 于点 Q,R,连接 OE,OD.
∵ 点 P 关于 OA 的对称点为 E,
∴ $PQ = EQ$,$OP = OE$,$∠EOA = ∠POA$.
∵ 点 P 关于 OB 的对称点为 D,
∴ $PR = DR$,$OP = OD$,$∠DOB = ∠POB$,
∴ $OE = OD = OP$,$∠EOD = ∠EOA + ∠POA + ∠POB + ∠DOB = 2∠POA + 2∠POB = 2∠AOB = 60^{\circ}$,
∴ $△EOD$ 是等边三角形,
∴ $ED = OE = OD$,
∴ $OP = ED$.
∵ $△PQR$ 周长的最小值为 $PQ + QR + PR = EQ + QR + RD = ED = 5$,
∴ $OP = 5$.

9. 如图，有一条小河和一片草地，一天，某牧民的计划是从A处的牧场到草地牧马，再到小河饮马，最后回到B处，你能为他设计一条最短的路线吗？(在ON上任意一点即可牧马，在OM上任意一点即可饮马，保留作图痕迹，需要证明)

答案：
如图①,分别作点 A,B 关于 ON,OM 的对称点 E,F,连接 EF,分别交 ON,OM 于点 C,D,则最短路线为 $A→C→D→B$.


证明如下:如图②,在 ON 上任意取一点除点 C 外的点 T,在 OM 上任意取一点除点 D 外的点 R,连接 FR,BR,RT,ET,AT,
∵ 点 A,E 关于 ON 对称,
∴ $AC = EC$,$AT = ET$,同理 $BD = FD$,$FR = BR$,
∴ $AC + CD + DB = EC + CD + FD = EF$,$AT + TR + BR = ET + TR + RF$.
∵ $ET + TR + RF ＞ ET + TF ＞ EF$,
∴ $AC + CD + DB ＜ AT + TR + BR$,即 $A→C→D→B$ 是最短的路线.

10. 改编题 如图，一条直的河流l的同侧有A，B两个村庄，要把A处的产品运往B处.按计划这批产品在河岸M处装上船，沿水路行a千米后在N处上岸，要使总路程最短，M，N两点应选在河岸l的什么位置？

答案：
如图所示.作法:①过点 A 作 $AE // l$,在 AE 上截取 $AA' = a$;②作点 B 关于直线 l 的对称点 $B'$,连接 $A'B'$ 交直线 l 于点 N;③过点 A 作 $AM // A'B'$,交直线 l 于点 M,则点 M,N 即为所求.

11. 如图，某大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，$ l _ { 1 } // l _ { 2 } $表示小河甲，$ l _ { 3 } // l _ { 4 } $表示小河乙，A为校本部大门，B为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸.图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A到甲河的垂直距离为40米，B到乙河的垂直距离为20米，两河距离为100米，A，B两点水平距离(与小河平行方向)为120米，为使A，B两点间来往路程最短，那么两条小河的桥址应该选在哪里？

答案：
如图,作 $AA'⊥l_1$,且 $AA' = 8$ 米,作 $BB'⊥l_4$,且 $BB' = 10$ 米,连接 $A'B'$ 交 $l_2$,$l_3$ 于点 D,E,过点 D 作 $DC⊥l_1$,垂足为点 C;过点 E 作 $EF⊥l_4$,垂足为点 F,连接 AC,BF.CD 和 EF 即为桥址所在.