《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

14.（南通中考改编）已知实数 $ m,n $ 满足 $ m^{2} + n^{2} = 2 + mn $，则 $ (2m - 3n)^{2} + (m + 2n) \cdot (m - 2n) $ 的最小值为______-4。

答案： -4 解析：$\because m^{2}+n^{2}=2 + mn$，$\therefore (2m - 3n)^{2}+(m + 2n)(m - 2n)=4m^{2}+9n^{2}-12mn+m^{2}-4n^{2}=5m^{2}+5n^{2}-12mn=5(mn + 2)-12mn=10 - 7mn$。$\because m^{2}+n^{2}=2 + mn$，$\therefore (m + n)^{2}=2 + 3mn\geq0$（当取等号时，$m + n=0$），$\therefore mn\geq-\frac{2}{3}$。$\because (m - n)^{2}=2 - mn\geq0$（当取等号时，$m - n=0$），$\therefore mn\leq2$，$\therefore -\frac{2}{3}\leq mn\leq2$，$\therefore -14\leq -7mn\leq\frac{14}{3}$，$\therefore -4\leq10 - 7mn\leq\frac{44}{3}$，即$(2m - 3n)^{2}+(m + 2n)(m - 2n)$的最小值为 -4。

15.（6分）计算：
（1）$ (a + b)(2a - b) + (2a + b)(a - 2b) $；
（2）$ (\pi - 3.14)^{0} + (-0.125)^{100} \times 8^{101} $.

答案：
(1) 原式$=2a^{2}+ab - b^{2}+2a^{2}-3ab - 2b^{2}=4a^{2}-2ab - 3b^{2}$。
(2) 原式$=1+(-\frac{1}{8}×8)^{100}×8=1 + 8=9$。

16.（8分）（1）如果 $ 9^{m + 3} \times 27^{m + 1} \div 3^{2m - 1} = 81 $，求 $ m $ 的值；
（2）已知 $ (x^{2} + mx + n)(x^{2} - 3x + 2) $ 中，不含 $ x^{3} $ 项和 $ x $ 项，求 $ m,n $ 的值.

答案：
(1) $\because 9^{m + 3}×27^{m + 1}÷3^{2m - 1}=81$，$\therefore (3^{2})^{m + 3}×(3^{3})^{m + 1}÷3^{2m - 1}=3^{4}$，$\therefore 3^{2m + 6}×3^{3m + 3}÷3^{2m - 1}=3^{4}$，$\therefore 3^{3m + 10}=3^{4}$，$\therefore 3m + 10=4$，解得$m = -2$。
(2) 原式$=x^{4}-3x^{3}+2x^{2}+mx^{3}-3mx^{2}+2mx+nx^{2}-3nx+2n=x^{4}-(3 - m)x^{3}+(2 - 3m + n)x^{2}+(2m - 3n)x + 2n$。由题意，得$\begin{cases}3 - m=0,\\2m - 3n=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m = 3,\\n = 2.\end{cases}$

17.（8分）先化简，再求值：
（1）（2024·济宁中考）$ x(y - 4x) + (2x + y) \cdot (2x - y) $，其中 $ x = \frac{1}{2},y = 2 $。
解：原式=$xy - y^{2}$，当$x=\frac{1}{2}$，$y = 2$时，原式=$-3$。
（2）（2025·临夏模拟）$ (x - 2y)^{2} - 2(x + y)(x - y) - 6y^{2} $，其中 $ x = 2,y = -\frac{1}{2} $。
解：原式=$-x^{2}-4xy$，当$x = 2$，$y = -\frac{1}{2}$时，原式=$0$。

答案：
(1) $x(y - 4x)+(2x + y)(2x - y)=xy - 4x^{2}+4x^{2}-y^{2}=xy - y^{2}$，当$x=\frac{1}{2}$，$y = 2$时，原式$=\frac{1}{2}×2 - 2^{2}=1 - 4=-3$。
(2) $(x - 2y)^{2}-2(x + y)(x - y)-6y^{2}=x^{2}-4xy + 4y^{2}-2(x^{2}-y^{2})-6y^{2}=x^{2}-4xy + 4y^{2}-2x^{2}+2y^{2}-6y^{2}=-x^{2}-4xy$，当$x = 2$，$y = -\frac{1}{2}$时，原式$=-2^{2}-4×2×(-\frac{1}{2})=-4 + 4=0$。

18.（8分）如图，边长为 $ a $ 的正方形 $ ABCD $ 和边长为 $ b(a ＞ b) $ 的正方形 $ CEFG $ 拼在一起，$ B,C,E $ 三点在同一直线上，设图中阴影部分的面积为 $ S $.
（1）如图①，$ S $ 的值与 $ a $ 的大小有关吗？说明理由.
答：$S$的值与$a$的大小无关，理由如下：由题意知，$S=a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2}(a + b)·a-\frac{1}{2}(a - b)·a-\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}b^{2}$，$\therefore S$的值与$a$的大小无关。
（2）如图②，若 $ a - b = 2,a^{2} + b^{2} = 7 $，求 $ S^{2} $ 的值.
解：$\because S=\frac{1}{2}(a - b)·a+\frac{1}{2}(a - b)·b=\frac{1}{2}(a - b)(a + b)$，$\therefore S^{2}=\frac{1}{4}(a - b)^{2}(a + b)^{2}$。$\because a - b=2$，$\therefore (a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}=4$。$\because a^{2}+b^{2}=7$，$\therefore 2ab=3$，$\therefore (a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=10$，$\therefore S^{2}=$10。

答案：
(1) $S$的值与$a$的大小无关，理由如下：由题意知，$S=a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2}(a + b)·a-\frac{1}{2}(a - b)·a-\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}b^{2}$，$\therefore S$的值与$a$的大小无关。
(2) $\because S=\frac{1}{2}(a - b)·a+\frac{1}{2}(a - b)·b=\frac{1}{2}(a - b)(a + b)$，$\therefore S^{2}=\frac{1}{4}(a - b)^{2}(a + b)^{2}$。$\because a - b=2$，$\therefore (a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}=4$。$\because a^{2}+b^{2}=7$，$\therefore 2ab=3$，$\therefore (a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=10$，$\therefore S^{2}=\frac{1}{4}×4×10=10$。

19.（9分）（2025·宿迁月考）学习了乘法公式：$ (a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2} $，聪明的小明逆用公式：$ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b) $ 可以解决不少问题，请你学习小明的做法尝试解决下列问题：
（1）已知 $ 2m - n = 3,4m^{2} - n^{2} = 12 $，则 $ 2m + n $ 的值为______4；
（2）已知 $ a + b = 4 $，则 $ a^{2} - b^{2} + 8b $ 的值为______16；
（3）计算：$ 1^{2} - 2^{2} + 3^{2} - 4^{2} + 5^{2} - 6^{2} + \cdots + 399^{2} - 400^{2} $。
______$1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+5^{2}-6^{2}+\cdots+399^{2}-400^{2}=(1 + 2)×(1 - 2)+(3 + 4)×(3 - 4)+(5 + 6)×(5 - 6)+\cdots+(399 + 400)(399 - 400)=-(1 + 2)-(3 + 4)-(5 + 6)-\cdots-(399 + 400)=-(1 + 2 + 3+\cdots+399 + 400)=-\frac{400×(400 + 1)}{2}=-80200$

答案：
(1) 4 解析：$\because 4m^{2}-n^{2}=12$，$2m - n=3$，$\therefore (2m + n)(2m - n)=12$，$\therefore 3(2m + n)=12$，$\therefore 2m + n=4$。
(2) 16 解析：$\because a + b=4$，$\therefore a^{2}-b^{2}+8b=(a + b)(a - b)+8b=4(a - b)+8b=4a - 4b + 8b=4a + 4b=4(a + b)=4×4=16$。
(3) $1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+5^{2}-6^{2}+\cdots+399^{2}-400^{2}=(1 + 2)×(1 - 2)+(3 + 4)×(3 - 4)+(5 + 6)×(5 - 6)+\cdots+(399 + 400)(399 - 400)=-(1 + 2)-(3 + 4)-(5 + 6)-\cdots-(399 + 400)=-(1 + 2 + 3+\cdots+399 + 400)=-\frac{400×(400 + 1)}{2}=-80200$。