《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

7. 如图, 已知在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C=10 \mathrm{~cm}, B C=8 \mathrm{~cm}$, 点 $D$ 为 $A B$ 的中点. 如果点 $P$ 在线段 $B C$ 上以 $3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度由点 $B$ 向点 $C$ 运动, 同时, 点 $Q$ 在线段 $C A$ 上由点 $C$ 向点 $A$ 运动.
(1) 当点 $Q$ 的运动速度为3 cm/s或$\frac{15}{4}$ cm/s时, 能够使 $\triangle B P D$ 与 $\triangle C Q P$ 全等?
(2) 若点 $Q$ 以 $4 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的运动速度从点 $C$ 出发, 点 $P$ 以原来的运动速度从点 $B$ 同时出发, 都逆时针沿 $\triangle A B C$ 三边运动, 求经过20s点 $P$ 与点 $Q$ 第一次在 $\triangle A B C$ 的BC边上相遇.

答案：
(1) 设点Q的运动速度为x cm/s，经过t s△BPD与△CQP全等，则PB = 3t cm，PC = (8 - 3t)cm，CQ = xt cm。
∵AB = AC，
∴∠B = ∠C。根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD = PC且BP = CQ时，△BPD与△CQP全等，即8 - 3t = 5且3t = xt，解得x = 3；②当BD = CQ且BP = PC时，△BPD与△CPQ全等，即5 = xt且3t = 8 - 3t，解得x = $\frac{15}{4}$，故当点Q的运动速度为3 cm/s或$\frac{15}{4}$ cm/s时，能够使△BPD与△CPQ全等。
(2) 设经过x s后点P与点Q第一次相遇，由题意得4x = 3x + 2×10，解得x = 20，点P共运动了20×3 = 60(cm)。又
∵△ABC的周长为28 cm，60÷28 = 2(周)……4(cm)，
∴在BC边上相遇，即经过20 s，点P，Q第一次在边BC上相遇。

8. 如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, A C=6, B C=8$. 点 $P$ 从点 $A$ 出发, 沿折线 $A \rightarrow C \rightarrow B$ 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 $B$ 运动, 点 $Q$ 从点 $B$ 出发, 沿折线 $B \rightarrow C \rightarrow A$ 以每秒 3 个单位长度的速度向终点 $A$ 运动, $P, Q$ 两点同时出发. 分别过 $P, Q$ 两点作 $P E \perp l$ 于 $E, Q F \perp l$ 于 $F$. 设点 $P$ 的运动时间为 $t(\mathrm{~s})$ :
(1) 当 $P, Q$ 两点相遇时, 求 $t$ 的值;
(2) 在整个运动过程中, 求 $C P$ 的长 (用含 $t$ 的式子表示);
(3) 当 $\triangle P E C$ 与 $\triangle Q F C$ 全等时, 直接写出所有满足条件的 $C Q$ 的长.

答案：

(1) 由题意得t + 3t = 6 + 8，解得t = $\frac{7}{2}$，
∴当P，Q两点相遇时，t的值为$\frac{7}{2}$。
(2) 由题意可知点P运动的长度为t，则$CP=\begin{cases} 6 - t(0\leq t\leq 6) \\ t - 6(6 ＜ t\leq 14) \end{cases}$。
(3) 5或2.5或6。解析：当P在AC上，Q在BC上时，如图①，
∵∠ACB = 90°，
∴∠PCE + ∠QCF = 90°。
∵PE⊥l于E，QF⊥l于F，
∴∠PEC = ∠CFQ = 90°，
∴∠EPC + ∠PCE = 90°，
∴∠EPC = ∠QCF，当△PCE≌△CQF时，
∴PC = CQ，
∴6 - t = 8 - 3t，解得t = 1，
∴CQ = 8 - 3t = 5。当P在AC上，Q在AC上时，即P，Q重合时，则CQ = PC，如图②，由题意得6 - t = 3t - 8，解得t = 3.5，
∴CQ = 3t - 8 = 2.5。当P在BC上，Q在AC上时，即A，Q重合时，则CQ = AC = 6，如图③。综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6。