《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

18. 新趋势 项目式学习 方法探究：
已知二次多项式 $ x^{2}-4x - 21 $，我们把 $ x = -3 $ 代入多项式，发现 $ x^{2}-4x - 21 = 0 $，由此可以推断多项式中有因式 $ (x + 3) $。设另一个因式为 $ (x + k) $，多项式可以表示成 $ x^{2}-4x - 21 = (x + 3)(x + k) $，则有 $ x^{2}-4x - 21 = x^{2}+(k + 3)x + 3k $，因为对应项的系数是对应相等的，所以 $ k + 3 = -4 $，解得 $ k = -7 $，所以多项式分解因式得 $ x^{2}-4x - 21 = (x + 3)(x - 7) $。我们把以上分解因式的方法叫“试根法”。
问题解决：
(1)对于二次多项式 $ x^{2}-4 $，我们把 $ x = $±2代入该式，会发现 $ x^{2}-4 = 0 $ 成立；
(2)对于三次多项式 $ x^{3}-x^{2}-3x + 3 $，我们把 $ x = 1 $ 代入多项式，发现 $ x^{3}-x^{2}-3x + 3 = 0 $，由此可以推断多项式中有因式 $ (x - 1) $，设另一个因式为 $ (x^{2}+ax + b) $，多项式可以表示成 $ x^{3}-x^{2}-3x + 3 = (x - 1)(x^{2}+ax + b) $，试求出题目中 $ a $，$ b $ 的值；
由题意可知 $ x^{3} - x^{2} - 3x + 3 = (x - 1)(x^{2} + ax + b) $，∴ $ x^{3} - x^{2} - 3x + 3 = x^{3} - (1 - a)x^{2} - (a - b)x - b $，∴ $ 1 - a = 1 $，$ b = -3 $，∴ $ a = $0，$ b = $-3
(3)对于多项式 $ x^{3}+4x^{2}-3x - 18 $，用“试根法”分解因式。
当 $ x = 2 $ 时，$ x^{3} + 4x^{2} - 3x - 18 = 8 + 16 - 6 - 18 = 0 $，∴ 多项式有因式 $ (x - 2) $，设另一个因式为 $ (x^{2} + ax + b) $，∴ $ x^{3} + 4x^{2} - 3x - 18 = (x - 2)(x^{2} + ax + b) $，∴ $ x^{3} + 4x^{2} - 3x - 18 = x^{3} + (a - 2)x^{2} - (2a - b)x - 2b $，∴ $ a - 2 = 4 $，$ 2b = 18 $，∴ $ a = 6 $，$ b = 9 $，∴ $ x^{3} + 4x^{2} - 3x - 18 = (x - 2)(x^{2} + 6x + 9) = $(x - 2)(x + 3)²

答案：
(1) $ ±2 $
(2) 由题意可知 $ x^{3} - x^{2} - 3x + 3 = (x - 1)(x^{2} + ax + b) $，
∴ $ x^{3} - x^{2} - 3x + 3 = x^{3} - (1 - a)x^{2} - (a - b)x - b $，
∴ $ 1 - a = 1 $，$ b = -3 $，
∴ $ a = 0 $，$ b = -3 $
(3) 当 $ x = 2 $ 时，$ x^{3} + 4x^{2} - 3x - 18 = 8 + 16 - 6 - 18 = 0 $，
∴ 多项式有因式 $ (x - 2) $，设另一个因式为 $ (x^{2} + ax + b) $，
∴ $ x^{3} + 4x^{2} - 3x - 18 = (x - 2)(x^{2} + ax + b) $，
∴ $ x^{3} + 4x^{2} - 3x - 18 = x^{3} + (a - 2)x^{2} - (2a - b)x - 2b $，
∴ $ a - 2 = 4 $，$ 2b = 18 $，
∴ $ a = 6 $，$ b = 9 $，
∴ $ x^{3} + 4x^{2} - 3x - 18 = (x - 2)(x^{2} + 6x + 9) = (x - 2)(x + 3)^{2} $

19. (随州中考)若一个两位数十位、个位上的数字分别为 $ m $，$ n $，我们可将这个两位数记为 $ \overline{mn} $，易知 $ \overline{mn}=10m + n $；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如 $ \overline{abc}=100a + 10b + c $。
【基础训练】
(1)解方程填空：
①若 $ \overline{2x}+\overline{x3}=45 $，则 $ x = $2；
②若 $ \overline{7y}-\overline{y8}=26 $，则 $ y = $4；
③若 $ \overline{t93}+\overline{5t8}=\overline{13t1} $，则 $ t = $7。
【能力提升】
(2)交换任意一个两位数 $ \overline{mn} $ 的个位数字与十位数字，可得到一个新数 $ \overline{nm} $，则 $ \overline{mn}+\overline{nm} $ 一定能被11整除，$ \overline{mn}-\overline{nm} $ 一定能被9整除，$ \overline{mn}\cdot\overline{nm}-mn $ 一定能被10整除。(请从大于 5 的整数中选择合适的数填空)
【探索发现】
(3)任选一个三位数，要求个位、十位、百位上的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如：若选的数为 325，则用 $ 532 - 235 = 297 $)，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个重复出现的数称为“卡普雷卡尔黑洞数”。
①325 的“卡普雷卡尔黑洞数”为495；
②设任选的三位数为 $ \overline{abc} $（不妨设 $ a ＞ b ＞ c $），试说明其均可得到该黑洞数。

答案：
(1) ① 2 ② 4 ③ 7
(2) 11 9 10 解析:
∵ $ \overline{mn} + \overline{nm} = 10m + n + 10n + m = 11m + 11n = 11(m + n) $，
∴ $ \overline{mn} + \overline{nm} $ 一定能被 11 整除。
∵ $ \overline{mn} - \overline{nm} = 10m + n - (10n + m) = 9m - 9n = 9(m - n) $，
∴ $ \overline{mn} - \overline{nm} $ 一定能被 9 整除。
∵ $ \overline{mn} \cdot \overline{nm} - mn = (10m + n)(10n + m) - mn = 100mn + 10m^{2} + 10n^{2} + mn - mn = 10(10mn + m^{2} + n^{2}) $，
∴ $ \overline{mn} \cdot \overline{nm} - mn $ 一定能被 10 整除
(3) ① 495 解析: 选的数为 325，则 $ 532 - 235 = 297 $，$ 972 - 279 = 693 $，$ 963 - 369 = 594 $，$ 954 - 459 = 495 $，$ 954 - 459 = 495 $，…
② 当任选的三位数为 $ \overline{abc}(a ＞ b ＞ c) $ 时，第一次运算后得到: $ 100a + 10b + c - (100c + 10b + a) = 99(a - c) $，结果为 99 的倍数。
∵ $ a ＞ b ＞ c $，
∴ $ a ≥ b + 1 ≥ c + 2 $，
∴ $ a - c ≥ 2 $。又 $ 9 ≥ a ＞ c ≥ 0 $，
∴ $ a - c ≤ 9 $，
∴ $ a - c = 2 $，3，4，5，6，7，8，9，
∴ 第一次运算后可能得到: 198，297，396，495，594，693，792，891，再让这些数经过运算，分别可以得到: $ 981 - 189 = 792 $，$ 972 - 279 = 693 $，$ 963 - 369 = 594 $，$ 954 - 459 = 495 $，$ 954 - 459 = 495 $，…，故都可以得到该黑洞数 495