《2025年高考帮数学》

3.[全国卷Ⅱ]若$x_1=\frac{\pi}{4},x_2=\frac{3\pi}{4}$是函数$f(x)=\sin\omega x(\omega＞0)$两个相邻的极值点,则$\omega =$ ( )
A.2
B.$\frac{3}{2}$
C.1
D.$\frac{1}{2}$

答案： 3.A 依题意得函数$f(x)$的最小正周期$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\times(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4})=\pi$，解得$\omega = 2$，选A.

4.函数$f(x)=\sin(x-\frac{\pi}{4})$的图象的一条对称轴的方程是 ( )
A.$x = \frac{\pi}{4}$
B.$x = \frac{\pi}{2}$
C.$x = -\frac{\pi}{4}$
D.$x = -\frac{\pi}{2}$

答案： 4.C 函数$y = \sin x$的图象的对称轴方程为$x = k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})$，令$x-\frac{\pi}{4}=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})$，得$x = k\pi+\frac{3\pi}{4}(k\in\mathbf{Z})$，故函数$f(x)=\sin(x - \frac{\pi}{4})$的图象的对称轴方程为$x = k\pi+\frac{3\pi}{4}(k\in\mathbf{Z})$. 令$k = -1$，得$x = -\frac{\pi}{4}$. 故选C.

5.[易错题]函数$y = 2\sin(-x+\frac{\pi}{3})(x\in[-\pi,0])$的单调递增区间是 ( )
A.$[-\pi,-\frac{\pi}{6}]$
B.$[-\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{6}]$
C.$[-\frac{\pi}{3},0]$
D.$[-\frac{\pi}{6},0]$

答案： 5.A 令$\frac{\pi}{2}+2k\pi\leqslant -x+\frac{\pi}{3}\leqslant\frac{3\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，则$-\frac{7\pi}{6}-2k\pi\leqslant x\leqslant -\frac{\pi}{6}-2k\pi,k\in\mathbf{Z}$. 又$x\in[-\pi,0]$，所以所求单调递增区间为$[-\pi,-\frac{\pi}{6}]$.

6.函数$f(x)=\tan(3x+\frac{\pi}{6})$的图象的对称中心为____.

答案： 6.$(\frac{k\pi}{6}-\frac{\pi}{18},0)(k\in\mathbf{Z})$ 令$3x+\frac{\pi}{6}=\frac{k\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，解得$x = \frac{k\pi}{6}-\frac{\pi}{18},k\in\mathbf{Z}$，所以$f(x)$的图象的对称中心为$(\frac{k\pi}{6}-\frac{\pi}{18},0),k\in\mathbf{Z}$.

例1 函数$y = \lg(\sin x) + \sqrt{\cos x - \frac{1}{2}}$的定义域为________.

答案： {x|2kπ＜x≤$\frac{\pi}{3}$+2kπ,k∈Z} 要使函数有意义,则$\begin{cases}\sin x ＞ 0,\\\cos x-\frac{1}{2}\geqslant 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}2k\pi ＜ x ＜ \pi + 2k\pi(k\in \mathbf{Z}),\\-\frac{\pi}{3}+2k\pi\leqslant x\leqslant \frac{\pi}{3}+2k\pi(k\in \mathbf{Z}),\end{cases}$所以2kπ＜x≤$\frac{\pi}{3}$+2kπ(k∈Z),所以函数的定义域为{x|2kπ＜x≤$\frac{\pi}{3}$+2kπ,k∈Z}.

训练1 函数$f(x)=\frac{\tan x\cdot\tan 2x}{\tan 2x - \tan x}$的定义域为________.

答案： {x|x≠$\frac{k\pi}{4}$,k∈Z} $\tan 2x,\tan x$有意义，则$\begin{cases}x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\\2x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\end{cases}k\in \mathbf{Z}$，又$\tan 2x - \tan x\neq 0$，即$\frac{2\tan x}{1 - \tan^{2}x}-\tan x\neq 0$，则$\tan x\neq 0$，即$x\neq k\pi,k\in \mathbf{Z}$，综上可得，$x\neq \frac{k\pi}{4},k\in \mathbf{Z}$，则函数$f(x)$的定义域为{x|x≠$\frac{k\pi}{4}$,k∈Z}.

例2 （1）[2021全国卷乙]函数$f(x)=\sin\frac{x}{3}+\cos\frac{x}{3}$的最小正周期和最大值分别是（ ）
A. $3\pi$和$\sqrt{2}$ B. $3\pi$和$2$
C. $6\pi$和$\sqrt{2}$ D. $6\pi$和$2$
（2）已知函数$f(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{3}) + 2$的定义域为$[\alpha,\pi]$，值域为$[\frac{5}{2},3]$，则$\alpha$的取值范围是（ ）
A. $[\frac{2\pi}{3},\pi]$ B. $[0,\frac{2\pi}{3}]$
C. $[\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{6}]$ D. $[\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}]$

答案：
(1)C 因为函数$f(x)=\sin \frac{x}{3}+\cos \frac{x}{3}=\sqrt{2}(\sin \frac{x}{3}\cos \frac{\pi}{4}+\cos \frac{x}{3}\sin \frac{\pi}{4})=\sqrt{2}\sin(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4})$，所以函数$f(x)$的最小正周期$T=\frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 6\pi$，最大值为$\sqrt{2}$。故选C。
(2)C 由题意知，$2x+\frac{\pi}{3}\in [2\alpha+\frac{\pi}{3},\frac{7\pi}{3}]$，且$y = \cos(2x+\frac{\pi}{3})$在$[\alpha,\pi]$上的值域为$[\frac{1}{2},1]$，$\therefore 2\alpha+\frac{\pi}{3}\geqslant \frac{5\pi}{3}$，且$2\alpha+\frac{\pi}{3}\leqslant 2\pi$，解得$\frac{2\pi}{3}\leqslant \alpha\leqslant \frac{5\pi}{6}$，$\therefore \alpha$的取值范围是$[\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{6}]$，故选C。

训练2 （1）[2023四川省模拟]已知函数$f(x)=\cos^{2}x+\sin x - \frac{1}{4}$的定义域为$[0,m]$，值域为$[\frac{3}{4},1]$，则实数$m$的最大值为（ ）
A. $\pi$ B. $\frac{7\pi}{6}$ C. $\frac{4\pi}{3}$ D. $\frac{3\pi}{2}$
（2）函数$y = \sin x - \cos x + \sin x\cos x$的值域为________.

答案：
(1)A 由已知，得$f(x)=\cos^{2}x+\sin x-\frac{1}{4}=1 - \sin^{2}x+\sin x-\frac{1}{4}=-\sin^{2}x+\sin x+\frac{3}{4}$，令$t = \sin x$，函数$f(x)$可转换为$y=-t^{2}+t+\frac{3}{4}=-(t - \frac{1}{2})^{2}+1$，因为$y\in [\frac{3}{4},1]$，所以根据二次函数的图象与性质可得$t\in [0,1]$，即$\sin x\in [0,1]$，又$x\in [0,m]$，所以根据三角函数的图象与性质可得$m\in [\frac{\pi}{2},\pi]$，所以实数$m$的最大值为$\pi$，故选A。
(2)$[-\sqrt{2}-\frac{1}{2},1]$ 令$\sin x - \cos x = t$，则$t=\sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4})$，$t\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$，$t^{2}=\sin^{2}x+\cos^{2}x - 2\sin x\cos x$，故$\sin x\cos x=\frac{1 - t^{2}}{2}$，所以$y=t+\frac{1 - t^{2}}{2}=-\frac{1}{2}(t - 1)^{2}+1$，所以当$t = 1$时，函数有最大值$1$；当$t = -\sqrt{2}$时，函数有最小值$-\sqrt{2}-\frac{1}{2}$，即值域为$[-\sqrt{2}-\frac{1}{2},1]$。

例3 （1）[2023天津高考]已知函数$f(x)$图象的一条对称轴为直线$x = 2$，$f(x)$的一个周期为$4$，则$f(x)$的解析式可能为（ ）
A. $f(x)=\sin(\frac{\pi}{2}x)$ B. $f(x)=\cos(\frac{\pi}{2}x)$
C. $f(x)=\sin(\frac{\pi}{4}x)$ D. $f(x)=\cos(\frac{\pi}{4}x)$
（2）[全国卷Ⅲ]函数$f(x)=\frac{\tan x}{1 + \tan^{2}x}$的最小正周期为（ ）
A. $\frac{\pi}{4}$ B. $\frac{\pi}{2}$ C. $\pi$ D. $2\pi$

答案：
(1)B 对于A，$f(x)=\sin(\frac{\pi}{2}x)$，其最小正周期为$\frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = 4$，因为$f(2)=\sin \pi = 0$，所以函数$f(x)=\sin(\frac{\pi}{2}x)$的图象不关于直线$x = 2$对称，故排除A；对于B，$f(x)=\cos(\frac{\pi}{2}x)$，其最小正周期为$\frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = 4$，因为$f(2)=\cos \pi = -1$，所以函数$f(x)=\cos(\frac{\pi}{2}x)$的图象关于直线$x = 2$对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数$y=\sin(\frac{\pi}{4}x)$和$y=\cos(\frac{\pi}{4}x)$的最小正周期均为$\frac{2\pi}{\frac{\pi}{4}} = 8$，均不符合题意，故排除C，D。综上，选B。
(2)C $f(x)=\frac{\tan x}{1+\tan^{2}x}=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{1+\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}}=\frac{\sin x\cos x}{\cos^{2}x+\sin^{2}x}=\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$，所以$f(x)$的最小正周期$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$。故选C。