《2025年高考帮数学》

1. 下列说法正确的是 （ ）
A. 复数$z = a - bi(a,b\in\mathbf{R})$中，虚部为 b
B. 复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小
C. 已知$z = a + bi(a,b\in\mathbf{R})$，当$a = 0$时，复数 z 为纯虚数
D. 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模

答案： 1.D

2. [2023 南京市六校联考]复数$z=\frac{1 + i}{1 + 2i}$(i 为虚数单位)，则$|z| =$ （ ）
A.$\frac{\sqrt{2}}{5}$ B.$\frac{\sqrt{2}}{3}$ C.$\frac{\sqrt{10}}{3}$ D.$\frac{\sqrt{10}}{5}$

答案： 2.D 解法一 $z=\frac{1 + i}{1 + 2i}=\frac{(1 + i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)}=\frac{3 - i}{5}=\frac{3}{5}-\frac{1}{5}i$，所以$|z|=\sqrt{(\frac{3}{5})^{2}+(-\frac{1}{5})^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，故选D.
解法二 $|z|=|\frac{1 + i}{1 + 2i}|=\frac{|1 + i|}{|1 + 2i|}=\frac{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，故选D.

3. [2021 新高考卷Ⅰ]已知$z = 2 - i$，则$z(\overline{z}+i) =$ （ ）
A.$6 - 2i$ B.$4 - 2i$ C.$6 + 2i$ D.$4 + 2i$

答案： 3.C 因为$z = 2 - i$，所以$z(\overline{z}+i)=(2 - i)(2 + 2i)=6 + 2i$，故选C.

4. [2023 合肥市二检]设 i 是虚数单位，复数$z=\frac{2i}{1 - i}$，则在复平面内 z 所对应的点位于 （ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限

答案： 4.B 因为$z=\frac{2i}{1 - i}=\frac{2i(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)}=-1 + i$，所以在复平面内$z$所对应的点为(-1,1)，位于第二象限. 故选B.

例1　(1)[全国卷III]复数$\frac{1}{1−3i}$的虚部是　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

A.−$\frac{3}{10}$　　B.−$\frac{1}{10}$　　C.$\frac{1}{10}$　　　D.$\frac{3}{10}$
(2)[2023全国卷甲]设$a\in\mathbf{R},(a + \text{i})(1 - a\text{i}) = 2$,则$a =$　　　　　　　　　　　　(　　　)

A.−2　　　B.−1　　　C.1　　　　D.2
(3)[2022全国卷甲]若$z = 1 + \text{i}$,则$|\text{i}z + 3\overline{z}| =$　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

A. $4\sqrt{5}$　　B. $4\sqrt{2}$　　C. $2\sqrt{5}$　　D. $2\sqrt{2}$

答案：
(1)D $\frac{1}{1 - 3i}=\frac{1 + 3i}{(1 + 3i)(1 - 3i)}=\frac{1 + 3i}{10}=\frac{1}{10}+\frac{3}{10}i$，所以复数的虚部为$\frac{3}{10}$。故选D。
(2)C $\because(a + i)(1 - ai)=a + i - a^{2}i - ai^{2}=2a+(1 - a^{2})i = 2$，$\therefore2a = 2$且$1 - a^{2}=0$，解得$a = 1$，故选C。
(3)D 因为$z = 1 + i$，所以$iz + 3\overline{z}=i(1 + i)+3(1 - i)=-1 + i+3 - 3i = 2 - 2i$，所以$|iz + 3\overline{z}|=|2 - 2i|=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}=2\sqrt{2}$。故选D。