《2025年高考帮数学》

教材帮读透教材融会贯通
1. 函数的单调性与导数的关系

思维拓展
用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系
(1)$f^{\prime}(x)＞0(＜0)$是$f(x)$在区间$(a,b)$内单调递增(减)的充分不必要条件.
(2)$f^{\prime}(x)\geqslant0(\leqslant0)$是$f(x)$在区间$(a,b)$内单调递增(减)的必要不充分条件.
(3)若$f^{\prime}(x)$在区间$(a,b)$的任意子区间内都不恒等于零,则$f^{\prime}(x)\geqslant0(\leqslant0)$是$f(x)$在区间$(a,b)$内单调递增(减)的充要条件.

答案： ①增
②$f^{\prime}(x)＜0$　③$f^{\prime}(x)=0$

2.利用导数判断函数单调性的步骤
第一步确定函数的④____
第2步,求出导数$f^{\prime}(x)$的⑤____
第3步,用$f^{\prime}(x)$的零点将$f(x)$的定义域划分为若干个区间,列表给出$f^{\prime}(x)$在各区间上的正负,由此得出函数$y = f(x)$在定义域内的单调性.

答案： ④定义域
⑤零点

1. [2024陕西汉中模拟]函数$f(x)=x^{2}-5\ln x - 3x - 1$的单调递减区间为 ( )
A.$(\frac{3}{2},+\infty)$
B.$(0,\frac{3}{2})$
C.$(\frac{5}{2},+\infty)$
D.$(0,\frac{5}{2})$

答案： D $f^{\prime}(x)=2x-\frac{5}{x}-3=\frac{2x^{2}-3x - 5}{x}=\frac{(x + 1)(2x - 5)}{x}(x＞0)$，当$x\in(0,\frac{5}{2})$时，$f^{\prime}(x)＜0$，所以$f(x)$在$(0,\frac{5}{2})$上单调递减，所以$f(x)$的单调递减区间为$(0,\frac{5}{2})$。

2. 已知导函数$y = f^{\prime}(x)$的图象如图所示,则函数$y = f(x)$的图象可能是 ( )

答案： B 解法一 由$y = f^{\prime}(x)$的图象自左到右先上升后下降，可知函数$y = f(x)$图象的切线的斜率自左到右先增大后减小，可以判断B正确。
解法二 由于$f^{\prime}(x)＞0(-1\leqslant x\leqslant1)$恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，$f(x)$在$[-1,1]$上单调递增，即图象从左至右上升，四个图象都满足。由于$x＞0$时，随着$x$的变大$f^{\prime}(x)$越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象越来越“平缓”；当$x＜0$时，随着$x$的变大$f^{\prime}(x)$越来越大，故函数值增加得越来越快，图象越来越“陡峭”，可以判断B正确。

3. 已知函数$f(x)=\sin x+\cos x - 2x,a = f(-\pi),b = f(2^{0}),c = f(\ln 2)$,则$a,b,c$的大小关系是 ( )
A.$a＞c＞b$
B.$a＞b＞c$
C.$b＞a＞c$
D.$c＞b＞a$

答案： A 因为函数$f(x)=\sin x+\cos x - 2x$，所以$f^{\prime}(x)=\cos x-\sin x - 2=\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})-2＜0$，所以$f(x)$为$\mathbf{R}$上的减函数，因为$-\pi＜\ln2＜1 = 2^{0}$，所以$f(-\pi)＞f(\ln2)＞f(2^{0})$，即$a＞c＞b$。故选A。

4. [多选]下列说法正确的是 ( )
A. 若函数$f(x)$在定义域上都有$f^{\prime}(x)＜0$,则函数$f(x)$在定义域上一定单调递减
B. 在$(a,b)$上$f^{\prime}(x)＞0(f^{\prime}(x)＜0)$是函数$f(x)$在$(a,b)$上单调递增(减)的充分不必要条件
C. 在$(a,b)$上$f^{\prime}(x)\leqslant0$,且$f^{\prime}(x)=0$的根有有限个,则$f(x)$在$(a,b)$上单调递减
D. 若函数$f(x)$在$(a,b)$内单调递增,则一定有$f^{\prime}(x)＞0$

答案： BC 对于A，不一定，如函数$y=\frac{1}{x}$的导函数$y^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}}$，在其定义域上$y^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}}＜0$恒成立，但是函数$y=\frac{1}{x}$在定义域$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$上不是单调递减的；对于B，结合导数与函数的单调性可知B正确；对于C，数形结合可知C正确；对于D，如函数$f(x)=x^{3}$在$\mathbf{R}$上单调递增，但$f^{\prime}(x)=3x^{2}$在$\mathbf{R}$上有零点，即$f^{\prime}(x)\geqslant0$。故选BC。