《2025年高考帮数学》

例1　[全国卷II]设函数$f'(x)$是奇函数$f(x)(x\in\mathbf{R})$的导函数，$f(-1)=0$，当$x＞0$时，$xf'(x)-f(x)＜0$，则使得$f(x)＞0$成立的$x$的取值范围是　　　　　　　　　　　　　(　　　)

A. $(-\infty,-1)\cup(0,1)$
B. $(-1,0)\cup(1,+\infty)$
C. $(-\infty,-1)\cup(-1,0)$
D. $(0,1)\cup(1,+\infty)$

答案： 例1A　令$F(x)=\frac{f(x)}{x}$，(根据条件$xf'(x)-f(x)＜0$构造函数$F(x)=\frac{f(x)}{x}$)
因为$f(x)$为奇函数，所以$F(x)$为偶函数，
由于$F'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^{2}}$，当$x＞0$时，$xf'(x)-f(x)＜0$，
所以$F(x)=\frac{f(x)}{x}$在$(0,+∞)$上单调递减，
根据图象的对称性，得$F(x)=\frac{f(x)}{x}$在$(-∞,0)$上单调递增.
由$f(-1)=0$，$f(1)=0$，知$F(-1)=0$，$F(1)=0$.
由$f(x)＞0$，得$\begin{cases}x＜0 \\ F(x)＜0 \end{cases}$或$\begin{cases}x＞0 \\ F(x)＞0 \end{cases}$，解得$x＜-1$或$0＜x＜1$，即使得$f(x)＞0$成立的$x$的取值范围是$(-∞,-1)\cup(0,1)$.

例2　已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$满足$2f(x)+f'(x)＞0$，且有$f(\frac{1}{2})=\frac{1}{e}$，则$f(x)＞\frac{1}{e^{2x}}$的解集为(　　　)
A. $(0,\frac{1}{2})$
B. $(\frac{1}{2},+\infty)$
C. $(0,2)$
D. $(0,+\infty)$

答案： 例2B　由题意，构造函数$F(x)=f(x)\cdot e^{2x}$，则$F'(x)=f'(x)\cdot e^{2x}+2f(x)e^{2x}=e^{2x}[f'(x)+2f(x)]＞0$，$\therefore F(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增.$f(x)＞\frac{1}{e^{2x}}\Leftrightarrow e^{2x}f(x)＞1\Leftrightarrow F(x)＞1$，$\because F(\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})\cdot e = 1$，$\therefore F(x)＞1\Leftrightarrow F(x)＞F(\frac{1}{2})\Leftrightarrow x＞\frac{1}{2}$，即$f(x)＞\frac{1}{e^{2x}}$的解集为$(\frac{1}{2},+∞)$，故选B.

例3　[2023湖南省长沙麓山国际实验学校期中]若定义在$[0,\frac{\pi}{2})$上的函数$f(x)$的导函数为$f'(x)$，且$f(0)=0$，$f'(x)\cos x+f(x)\sin x＜0$，则下列不等关系中正确的是　　　　　　(　　　)
A. $f(\frac{\pi}{6})＜\frac{\sqrt{6}}{2}f(\frac{\pi}{4})$
B. $f(\ln\frac{\pi}{3})＞0$
C. $f(\frac{\pi}{6})＞\sqrt{3}f(\frac{\pi}{3})$
D. $f(\frac{\pi}{4})＜\sqrt{2}f(\frac{\pi}{3})$

答案： 例3C　令$g(x)=\frac{f(x)}{\cos x}$，$x\in[0,\frac{\pi}{2})$，则$g'(x)=\frac{f'(x)\cos x + f(x)\sin x}{\cos^{2}x}$，
因为$f'(x)\cos x + f(x)\sin x ＜ 0$，所以$g'(x)＜0$在$[0,\frac{\pi}{2})$上恒成立，因此函数$g(x)=\frac{f(x)}{\cos x}$在$[0,\frac{\pi}{2})$上单调递减，故$g(\frac{\pi}{6})＞g(\frac{\pi}{4})$，即$\frac{f(\frac{\pi}{6})}{\cos\frac{\pi}{6}}＞\frac{f(\frac{\pi}{4})}{\cos\frac{\pi}{4}}$，即$f(\frac{\pi}{6})＞\frac{\sqrt{2}}{2}f(\frac{\pi}{4})$，故A错；又$f(0)=0$，所以$g(0)=\frac{f(0)}{\cos 0}=0$，所以$g(x)=\frac{f(x)}{\cos x}\leq0$在$[0,\frac{\pi}{2})$上恒成立，因为$0 = \ln 1 ＜ \ln\frac{\pi}{3} ＜ \ln e = 1 ＜ \frac{\pi}{2}$，所以$f(\ln\frac{\pi}{3})＜0$，故B错；又$g(\frac{\pi}{6})＞g(\frac{\pi}{3})$，所以$\frac{f(\frac{\pi}{6})}{\cos\frac{\pi}{6}}＞\frac{f(\frac{\pi}{3})}{\cos\frac{\pi}{3}}$，即$f(\frac{\pi}{6})＞\sqrt{3}f(\frac{\pi}{3})$，故C正确；又$g(\frac{\pi}{4})＞g(\frac{\pi}{3})$，所以$\frac{f(\frac{\pi}{4})}{\cos\frac{\pi}{4}}＞\frac{f(\frac{\pi}{3})}{\cos\frac{\pi}{3}}$，即$f(\frac{\pi}{4})＞\sqrt{2}f(\frac{\pi}{3})$，故D错误. 故选C.

训练1　(1)[2023安徽合肥第六中学5月月考]已知函数$f(x)$满足$f(x)+f(-x)=0$，且当$x\in(-\infty,0)$时，$f(x)+xf'(x)＜0$成立。若$a = 2^{0.6}\cdot f(2^{0.6})$，$b=\ln 2\cdot f(\ln 2)$，$c=\log_{2}\frac{1}{8}\cdot f(\log_{2}\frac{1}{8})$，则$a,b,c$的大小关系是　　　(　　　)
A. $a＞b＞c$
B. $c＞b＞a$
C. $a＞c＞b$
D. $c＞a＞b$
(2)[2024广西柳州模拟]设函数$y = f(x)$，$x\in\mathbf{R}$的导函数为$f'(x)$，且$f(x)$为偶函数，$f'(x)＞f(x)$，则不等式成立的是　　　　　　　(　　　)
A. $f(0)＜e^{-1}f(1)＜e^{2}f(2)$
B. $e^{3}f(3)＜f(0)＜e^{-1}f(1)$
C. $e^{-1}f(1)＜f(0)＜e^{2}f(2)$
D. $e^{2}f(2)＜e^{3}f(3)＜f(0)$
(3)[2023山东潍坊4月二模]已知函数$f(x)$的定义域为$(0,\pi)$，其导函数是$f'(x)$。若$f'(x)\sin x - f(x)\cos x＞0$恒成立，则关于$x$的不等式$f(x)＜2f(\frac{\pi}{6})\sin x$的解集为________。

答案： 训练1　　
(1)D　因为函数$f(x)$满足$f(x)+f(-x)=0$，所以$f(x)$是奇函数.不妨令$g(x)=x\cdot f(x)$，则$g(-x)=-x\cdot f(-x)=x\cdot f(x)=g(x)$，所以$g(x)$是偶函数.
$g'(x)=f(x)+xf'(x)$，因为当$x\in(-∞,0)$时，$f(x)+xf'(x)＜0$成立，所以$g(x)$在$(-∞,0)$上单调递减，又$g(x)$是偶函数，所以$g(x)$在$(0,+∞)$上单调递增.$a = g(2^{0.6})$，$b = g(\ln 2)$，$c = g(\log_{2}\frac{1}{8})=g(-\log_{2}\frac{1}{8})$，
因为$2＞2^{0.6}＞1$，$0＜\ln 2＜1$，$-\log_{2}\frac{1}{8}=-(-3)=3＞2$，
所以$\ln 2＜2^{0.6}＜-\log_{2}\frac{1}{8}$，所以$c ＞ a ＞ b$. 故选D.
(2)B　设$g(x)=\frac{f(x)}{e^{x}}$，则$g'(x)=\frac{f'(x)-f(x)}{e^{x}}＞0$，所以$g(x)$在$\mathbf{R}$上递增，又$f(x)$为偶函数，则$g(1)=\frac{f(1)}{e}=e^{-1}f(1)$，$g(0)=\frac{f(0)}{e^{0}}=f(0)$，$g(-2)=\frac{f(-2)}{e^{-2}}=e^{2}f(2)$，$g(-3)=\frac{f(-3)}{e^{-3}}=e^{3}f(3)$，由$-3 ＜ -2 ＜ 0 ＜ 1$，可得$g(-3)＜g(-2)＜g(0)＜g(1)$，即$e^{3}f(3)＜e^{2}f(2)＜f(0)＜e^{-1}f(1)$. 故选B.
(3)$(0,\frac{\pi}{6})$　令$F(x)=\frac{f(x)}{\sin x}$，则$F'(x)=\frac{f'(x)\sin x - f(x)\cos x}{\sin^{2}x}＞0$，所以$F(x)$在定义域内单调递增.关于$x$的不等式$f(x)＜2f(\frac{\pi}{6})\sin x$可化为$\frac{f(x)}{\sin x}＜\frac{f(\frac{\pi}{6})}{\sin\frac{\pi}{6}}$，即$F(x)＜F(\frac{\pi}{6})$.因为$0 ＜ x ＜ \pi$，所以$0 ＜ x ＜ \frac{\pi}{6}$，所以不等式$f(x)＜2f(\frac{\pi}{6})\sin x$的解集为$(0,\frac{\pi}{6})$.