《2025年高考帮数学》

例2
（1）[全国卷Ⅲ]函数$f(x)=2\sin x - \sin 2x$在$[0,2\pi]$的零点个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
（2）[2024江苏苏州常熟中学模拟]设定义域为$\mathbf{R}$的函数$f(x)=\begin{cases}|\lg x|,x ＞ 0,\\ -x^{2}-2x,x\leqslant 0,\end{cases}$则关于$x$的函数$y = 2f^{2}(x)-3f(x)+1$的零点的个数为（ ）
A. 3 B. 7 C. 5 D. 6

答案：
（1）B$f(x)=2\sin x−2\sin x\cos x=2\sin x(1−\cos x)$，令$f(x)=0$，则$\sin x=0$或$\cos x=1$，所以$x=k\pi(k\in Z)$，又$x\in[0,2\pi]$，所以$x=0$或$x=\pi$或$x=2\pi$。故选B。
（2）B根据题意，令$2f^{2}(x)−3f(x)+1=0$，得$f(x)=1$或$f(x)=\frac{1}{2}$。作出$y=f(x)$，$y=1$，$y=\frac{1}{2}$的图象，如图所示，
　　
由图象可得$f(x)$的图象与直线$y=1$和$y=\frac{1}{2}$分别有3个和4个交点，故关于$x$的函数$y=2f^{2}(x)−3f(x)+1$的零点的个数为7。

训练2
（1）定义在$\mathbf{R}$上的函数$y = f(x)$满足$f(x + 2)=f(x)$，且$x\in[-1,1]$时，$f(x)=1 - x^{2}$.若函数$g(x)=\begin{cases}|\lg x|,x ＞ 0,\\ e^{x},x\leqslant 0,\end{cases}$则函数$h(x)=f(x)-g(x)$在区间$[-6,6]$内的零点个数为（ ）
A. 14 B. 13 C. 12 D. 11
（2）[2023河南省部分学校押题信息卷]设$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上且周期为5的奇函数，$f(3)=0$，则$f(x)$在$[0,10]$内的零点个数最少是（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 9

答案：
（1）B易得函数$y=f(x)$是周期为2的函数，因为$x\in[−1,1]$时，$f(x)=1−x^{2}$，所以作出$y=f(x)$的图象，如图所示。再作出函数$g(x)=\begin{cases}|\lg x|,x＞0\\e^{x},x\leq0\end{cases}$的图象，容易得出所求交点为13个；故选B。
　　　　
（2）D　因为$f(x)$是定义在$R$上且周期为5的奇函数，所以$f(0)=f(5)=f(10)=0$。又$f(3)=0$，所以$f(3)=f(8)=0$，$f(-3)=f(2)=f(7)=0$。$f(-\frac{5}{2})=-f(\frac{5}{2})$，$f(-\frac{5}{2})=f(-\frac{5}{2}+5)=f(\frac{5}{2})$，所以$f(-\frac{5}{2})=f(\frac{5}{2})=0$，$f(\frac{15}{2})=f(\frac{5}{2}+5)=f(\frac{5}{2})=0$，故零点至少有$0$，$2$，$\frac{5}{2}$，$3$，$5$，$7$，$8$，$\frac{15}{2}$，$10$，则$f(x)$在$[0,10]$内的零点个数最少是9。故选D。

例3 函数$f(x)=\begin{cases}4 - x^{2},x\leqslant 2,\\ \log_{3}(x - 1),x ＞ 2,\end{cases}g(x)=kx - 3k$，若函数$f(x)$与$g(x)$的图象有三个交点，则实数$k$的取值范围为（ ）
A. $(2\sqrt{2}-6,0)$
B. $(2\sqrt{3}-6,0)$
C. $(-2,0)$
D. $(2\sqrt{5}-6,0)$

答案：
作出函数$f(x)=\begin{cases}4 - x^{2},x\leq2\\\log_{3}(x - 1),x＞2\end{cases}$的图象，如图所示。$g(x)=kx−3k=k(x−3)$，故$g(x)$过定点$(3,0)$，设过$(3,0)$且与$y=4−x^{2}$相切的直线为$l$，切点为$P(x_{0},4−x_{0}^{2})$，$x_{0}＜2$，因为$y'=-2x$，所以切线的斜率为$k=-2x_{0}=\frac{4−x_{0}^{2}}{x_{0}-3}$，解得$x_{0}=3-\sqrt{5}$或$x_{0}=3+\sqrt{5}$(舍去)，所以切线的斜率$k = 2\sqrt{5}-6$，由图象知，要想函数$f(x)$与$g(x)$的图象有三个交点，则实数$k$的取值范围为$(2\sqrt{5}-6,0)$。
　　　　　　　　　　　　　　　　　

例4 已知函数$f(x)=3^{x}-\frac{1 + ax}{x}$.若存在$x_{0}\in(-\infty,-1)$，使得$f(x_{0})=0$，则实数$a$的取值范围是（ ）
A. $(-\infty,\frac{4}{3})$
B. $(0,\frac{4}{3})$
C. $(-\infty,0)$
D. $(\frac{4}{3},+\infty)$

答案： 由$f(x)=3^{x}-\frac{1 + ax}{x}=0$，可得$a = 3^{x}-\frac{1}{x}$。令$g(x)=3^{x}-\frac{1}{x}$，$x\in(-\infty,-1)$。由于存在$x_{0}\in(-\infty,-1)$，使得$f(x_{0})=0$，则函数$g(x)$的值域即为实数$a$的取值范围。因为函数$y = 3^{x}$和$y = -\frac{1}{x}$在区间$(-\infty,-1)$上均单调递增，所以函数$g(x)$在$(-\infty,-1)$上单调递增，所以$g(x)=3^{x}-\frac{1}{x}＜3^{-1}+1=\frac{4}{3}$，且$g(x)=3^{x}-\frac{1}{x}＞0$，所以函数$g(x)$的值域为$(0,\frac{4}{3})$，因此，实数$a$的取值范围是$(0,\frac{4}{3})$，故选B。

例5 [2023广东六校第一次联考]定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$满足$f(-x)+f(x)=0$，$f(x)=f(2 - x)$；且当$x\in[0,1]$时，$f(x)=x^{3}-x^{2}+x$.则方程$7f(x)-x + 2 = 0$所有的根的和为（ ）
A. 14
B. 12
C. 10
D. 8

答案：
由$f(-x)+f(x)=0$，$f(x)=f(2 - x)$可得$f(x)$为奇函数，且图象关于直线$x = 1$对称，且易得$f(x)$的周期为4。当$x\in[0,1]$时，$f(x)=x^{3}-x^{2}+x$，此时$f'(x)=3x^{2}-2x + 1=3(x-\frac{1}{3})^{2}+\frac{2}{3}＞0$，故$f(x)=x^{3}-x^{2}+x$在$[0,1]$上单调递增。综上，可画出$y = f(x)$的部分图象如图所示。
　　　　
方程$7f(x)-x + 2 = 0$的根，即$y = f(x)$与$y = \frac{1}{7}(x - 2)$的图象的交点的横坐标，作出直线$l:y = \frac{1}{7}(x - 2)$，易知直线$l$也关于点$(2,0)$对称且$y = f(x)$与$l$的图象在区间$[-5,2)$，$(2,9]$上均有3个交点，且关于点$(2,0)$对称，加上点$(2,0)$共7个交点，所以方程$7f(x)-x + 2 = 0$所有的根的和为$3\times2\times2+2 = 14$。故选A。