《2025年高考帮数学》

例3 (1)已知$f(x + 1)$是定义在R上且周期为2的函数,当$x\in[ - 1,1)$时,$f(x)=\begin{cases}-2x^{2}+4, - 1\leq x ＜ 0\\\sin\pi x,0\leq x ＜ 1\end{cases}$,则$f(3)\cdot f( - \frac{10}{3})=($ )
A.$\sqrt{3}$
B.$-\sqrt{3}$
C.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
(2)[2022新高考卷Ⅱ]已知函数$f(x)$的定义域为R,且$f(x + y)+f(x - y)=f(x)f(y),f(1)=1$,则$\sum_{k = 1}^{22}f(k)=$ ( )
A. -3
B. -2
C.0
D.1

答案： 例3
(1)A　因为$f(x + 1)$是定义在$\mathbf{R}$上且周期为2的函数，所以$f(x)$也是周期为2的函数，（解题关键：由$f(x + 1)$的周期得到$f(x)$的周期）
则$f(3)=f(-1)=-2 + 4 = 2$，$f(-\frac{10}{3})=f(\frac{2}{3})=\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$f(3)\cdot f(-\frac{10}{3})=2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，故选A。
(2)A　因为$f(1)=1$，所以在$f(x + y)+f(x - y)=f(x)f(y)$中，令$y = 1$，得$f(x + 1)+f(x - 1)=f(x)f(1)$，所以$f(x + 1)+f(x - 1)=f(x)$ ①，所以$f(x + 2)+f(x)=f(x + 1)$ ②。由①②相加，得$f(x + 2)+f(x - 1)=0$，故$f(x + 3)+f(x)=0$，所以$f(x + 3)=-f(x)$，所以$f(x + 6)=-f(x + 3)=f(x)$，所以函数$f(x)$的一个周期为6。在$f(x + y)+f(x - y)=f(x)f(y)$中，令$x = 1$，$y = 0$，得$f(1)+f(1)=f(1)f(0)$，所以$f(0)=2$，再令$x = 0$，代入$f(x + 3)+f(x)=0$，得$f(3)=-2$。令$x = 1$，$y = 1$，得$f(2)+f(0)=f(1)f(1)$，所以$f(2)=-1$。由$f(x + 3)+f(x)=0$，得$f(1)+f(4)=0$，$f(2)+f(5)=0$，$f(3)+f(6)=0$，所以$f(1)+f(2)+\cdots +f(6)=0$，根据函数的周期性知，$\sum_{k = 1}^{22}f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(2)+f(3)=-1-2=-3$，故选A。

训练2 (1)[2024广东梅州模拟]已知函数$f(x)=\begin{cases}e^{x + 1},x\leq1\\-f(x - 1),x ＞ 1\end{cases}$,则$f(2024-\ln2)=$ ( )
A.$-\frac{e^{2}}{2}$
B.$-\frac{e}{2}$
C.$\frac{e}{2}$
D.$\frac{e^{2}}{2}$
(2)[2024云南部分名校联考]已知$f(x)$是定义在R上的偶函数,且$f(x)+f(4 - x)=0$,当$0\leq x\leq2$时,$f(x)=a\cdot2^{x}+x^{2}$,则$f(2024)=$_______.

答案： 训练2
(1)A　当$x＞1$时，$f(x)=-f(x - 1)$，则$f(x + 2)=-f(x + 1)=f(x)$，所以$x＞1$时，$f(x)$是周期为2的函数。因为$2024-\ln2=2022+2-\ln2$，且$2＞2-\ln2＞2-\ln e = 1$，所以$f(2024-\ln2)=f(2-\ln2)=-f(1-\ln2)=-e^{1-\ln2 + 1}=-\frac{e^{2}}{e^{\ln2}}=-\frac{e^{2}}{2}$。故选A。
(2)$-1$　因为$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，且$f(x)+f(4 - x)=0$，所以$f(x)=-f(4 - x)=-f(x - 4)$，$f(x - 4)=-f(x - 8)$，所以$f(x)=f(x - 8)$，故$f(x)$是以8为周期的函数，则$f(2024)=f(0)$。令$x = 2$，则$f(2)+f(4 - 2)=2f(2)=8a + 8 = 0$，则$a=-1$，所以$f(0)=-2^{0}=-1$，即$f(2024)=-1$。

例4 (1)已知函数$f(x)(x\in R)$满足$f( - x)=2 - f(x)$,若函数$y=\frac{x + 1}{x}$与$y = f(x)$图象的交点为$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\cdots,(x_{m},y_{m})$,则$\sum_{i = 1}^{m}(x_{i}+y_{i})=$ ( )
A.0
B.m
C.2m
D.4m
(2)函数$f(x)=(x^{2}-1)(e^{x}-e^{-x})+x + 1$在区间$[ - 2,2]$上的最大值与最小值分别为M,N,则$M + N$的值为_______.

答案： 例4
(1)B　由$f(-x)=2 - f(x)$知$f(x)$的图象关于点$(0,1)$对称，而$y=\frac{x + 1}{x}=1+\frac{1}{x}$的图象也关于点$(0,1)$对称，因此两个函数图象的交点也关于点$(0,1)$对称，且成对出现，则$x_{1}+x_{m}=x_{2}+x_{m - 1}=\cdots = 0$，$y_{1}+y_{m}=y_{2}+y_{m - 1}=\cdots = 2$，所以$\sum_{i = 1}^{m}(x_{i}+y_{i})=0\times\frac{m}{2}+2\times\frac{m}{2}=m$。
(2)2　设$g(x)=(x^{2}-1)(e^{x}-e^{-x})+x$，则$f(x)=g(x)+1$。
因为$g(-x)=(x^{2}-1)(e^{-x}-e^{x})-x=-g(x)$，且$g(x)$的定义域关于原点对称，所以$g(x)$是奇函数。
由奇函数图象的对称性知$g(x)_{\max}+g(x)_{\min}=0$，
故$M + N=[g(x)+1]_{\max}+[g(x)+1]_{\min}=2+g(x)_{\max}+g(x)_{\min}=2$。

训练3 (1)[多选]关于函数$f(x)=\sin x+\frac{1}{\sin x}$,下列结论正确的是 ( )
A.$f(x)$的图象关于y轴对称
B.$f(x)$的图象关于原点对称
C.$f(x)$的图象关于直线$x=\frac{\pi}{2}$对称
D.$f(x)$的最小值为2
(2)已知函数$f(x)=x^{3}-3x^{2}+x + 1+\sin(x - 1)$,则函数$f(x)$在$(0,2)$上的最大值与最小值的和为_______.

答案： 训练3
(1)BC　由题意知$f(x)$的定义域为$\{x|x\neq k\pi,k\in\mathbf{Z}\}$，且关于原点对称。又$f(-x)=\sin(-x)+\frac{1}{\sin(-x)}=-(\sin x+\frac{1}{\sin x})=-f(x)$，所以函数$f(x)$为奇函数，其图象关于原点对称，所以A错误，B正确。因为$f(\pi - x)=\sin(\pi - x)+\frac{1}{\sin(\pi - x)}=\sin x+\frac{1}{\sin x}=f(x)$，所以函数$f(x)$的图象关于直线$x=\frac{\pi}{2}$对称，C正确。当$\sin x＜0$时，$f(x)＜0$，所以D错误。故选BC。
(2)0　由三次函数图象的对称性可得，$y = x^{3}-3x^{2}+x + 1$的图象的对称中心为$(1,0)$，因为$y=\sin(x - 1)$的图象也关于$(1,0)$对称，所以函数$f(x)$在$(0,2)$上的图象关于$(1,0)$对称，所以$f(x)$在$(0,2)$上的最大值与最小值的和为0。

例5 (1)[2021全国卷甲]设函数$f(x)$的定义域为R,$f(x + 1)$为奇函数,$f(x + 2)$为偶函数,当$x\in[1,2]$时,$f(x)=ax^{2}+b$.若$f(0)+f(3)=6$,则$f(\frac{9}{2})=$ ( )
A.$-\frac{9}{4}$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$\frac{7}{4}$
D.$\frac{5}{2}$
(2)[2024平许济洛第一次质检]定义在R上的偶函数$f(x)$满足$f(2 - x)+f(x)=0$,且$f(x)$在$[ - 2,0]$上单调递增.若$a = f(\tan\frac{5\pi}{18}),b = f(3),c = f(\log_{4}3)$,则 ( )
A.$a ＜ b ＜ c$
B.$a ＜ c ＜ b$
C.$c ＜ b ＜ a$
D.$c ＜ a ＜ b$

答案： 例5
(1)D　因为$f(x + 1)$为奇函数，所以函数$f(x)$的图象关于点$(1,0)$对称，即有$f(x)+f(2 - x)=0$，令$x = 1$，得$f(1)=0$，即$a + b = 0$ ①，令$x = 0$，得$f(0)=-f(2)$。因为$f(x + 2)$为偶函数，所以函数$f(x)$的图象关于直线$x = 2$对称，即有$f(x)-f(4 - x)=0$，令$x = 1$，得$f(3)=f(1)$，所以$f(0)+f(3)=-f(2)+f(1)=-4a - b + a + b=-3a = 6$ ②。根据①②可得$a=-2$，$b = 2$，所以当$x\in[1,2]$时，$f(x)=-2x^{2}+2$。根据函数$f(x)$的图象关于直线$x = 2$对称，且关于点$(1,0)$对称，可得函数$f(x)$的周期为4，所以$f(\frac{9}{2})=f(\frac{1}{2})=-f(\frac{3}{2})=2\times(\frac{3}{2})^{2}-2=\frac{5}{2}$。
(2)A　由$f(2 - x)+f(x)=0$可得$f(x)$的图象关于点$(1,0)$中心对称，由$f(x)$为偶函数可得$f(x)$的图象关于$y$轴对称，根据函数周期性结论可得函数$f(x)$的周期为4，所以$f(3)=f(3 - 4)=f(-1)=f(1)$，因为$0＜\log_{4}3＜1$，$1=\tan\frac{\pi}{4}＜\tan\frac{5\pi}{18}＜\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}＜2$，所以$0＜\log_{4}3＜1＜\tan\frac{5\pi}{18}＜2$，因为偶函数$f(x)$在$[-2,0]$上单调递增，所以函数$f(x)$在$(0,2]$上单调递减，所以$f(\tan\frac{5\pi}{18})＜f(1)=f(3)＜f(\log_{4}3)$，即$a ＜ b ＜ c$。故选A。